">
Математика Геометрия
Информация о работе

Тема: Математические лекции

Описание: Математическое описание линейных систем автоматического управления. Уравнения динамических систем. Физический смысл частотной характеристики. Понятие устойчивости. Условие строгой реализуемости передаточной функции. Влияние звена чистого запаздывания.
Предмет: Математика.
Дисциплина: Геометрия.
Тип: Лекции и учебные материалы
Дата: 13.08.2012 г.
Язык: Русский
Скачиваний: 52
Поднять уникальность

Похожие работы:

Лекция №6 Математическое описание линейных систем автоматического управления

Объекты и системы управления технологическими процессами состоят из элементов, имеющих различную природу. Описание каждого элемента дается на языке механики, электротехники, химических или физических процессов. Для анализа взаимодействия удобно перейти к единообразному описанию. В инженерной практике получил наибольшее распространение следующий способ:

а) каждый реальный элемент рассматривается как устройство, звено системы, в котором осуществляется преобразование одного процесса, называемого входным воздействием, в другой, называемой входной реакцией, или просто преобразование "вход - выход".

б) взаимодействие между звеньями задаются путем описания связи между их входами и выходами, определяющих структуру схемы.

Математическое описание вход - выходных соотношений может быть аналитическим (с помощью уравнений), графическим (с помощью графиков, структурных схем, графов) и табличным (с помощью таблиц).

Математическое описание можно получить аналитическим на основе физических и химических законов, которым подчиняются технологические процессы, или экспериментально.

Обычно вход - выходные соотношения описываются линейными или нелинейными алгебраическими или дифференциальными уравнениями, передаточными функциями или импульсными функциями.

Классификация систем

Различают одномерные системы, имеющие один вход и один выход, и многомерные системы с несколькими входами и выходами (Рис 6.1 рис 6.2).



Рисунок 61 Одномерная системаРисунок 62 Многомерная система

Автоматическая система, как правило, является динамической, то есть процессы в ней протекают во времени. Динамическая система характеризуется определенным оператором. Под оператором понимают математические действия: алгебраические операции, дифференцирование, интегрирование, решение интегральных и дифференциальных уравнений, других функциональных уравнений, а также другие логические операции. Поэтому вход и выход связаны в общем случае

 (6.1.)

где H - оператор системы.

Принцип суперпозиции

Оператор H называется линейным, если при любых числах C1 ,..,Cn и любых функциях x(t),..,xn(t) выполняется равенство:

(6.2.).

Свойство, выраженное формулой (6.2) называется принципом суперпозиции и состоит в том, что результат действия линейного оператора на линейную комбинацию заданных функций является линейной комбинацией от результатов его действия на каждую функцию в отдельности с теми же коэффициентами.

Примерами линейных операторов является оператор дифференцирования

(6.3.)

и интегрирующий оператор общего вида

(6.4.)

где - некоторые известные функции.

Оператор H называется нелинейным, если для него не выполняются принцип суперпозиции

(6.5.)

и интегрирование нелинейной функции

(6.6.)

где - нелинейная функция.

Стационарные и нестационарные системы

Оператор системы может быть стационарным и нестационарным. В первом случае свойства оператора не зависят от времени, во втором случае он может менять во времени свои свойства и структуру. Если оператор системы стационарен, то такая система называется стационарной. Если динамическая система описывается уравнением, то характерным признаком стационарности системы является постоянство всех параметров (коэффициентов) уравнения. В противном случае система является нестационарной.

Системы уравнения и их операторы могут быть непрерывными и дискретными - эти системы могут быть линейными и нелинейными.

Большинство систем в целом можно отнести к системам сосредоточенными или распределенными параметрами.

Уравнения динамических систем

Уравнения динамических систем можно записать в форме следующего полинома относительно оператора  и , а уравнение системы можно представить

(6.7.)

гдеи параметры уравнения, - входное воздействие, - реакция.

При записи и преобразовании дифференциальных уравнений оператор p можно рассматривать как алгебраический сомножитель, а выражение py - как произведение, не обладающее свойством коммутативности, то есть писать,  учитывая это, преобразуем последнее уравнение

(6.8.)

введем 

 (6.9.)

и представим уравнение (6.8) в более компактной форме

 (6.10.)

где - собственный оператор;

- оператор воздействия.

Дифференциальный оператор при выходной величине называют собственным оператором, а дифференциальный оператор при входной величине оператором взаимодействия. Все уравнения, записанные с использованием оператора p, являются символической формой записи уравнения (6.7). Такая запись удобна при определении передаточных функций.

Передаточные функции

Для описания САУ используются две различные передаточные функции - в операторной форме и в изображении Лапласа.

Передаточная функция в операторной форме W(p) называется отношением оператора воздействия к собственному оператору.

 ; 

Периодической функцией в изображениях Лапласа W(s) называется отношение изображений Лапласа выходной величины к входной при нулевых начальных условиях. Здесь s - переменная преобразования Лапласа.

Согласно определению, передаточная функция в операторной форме:

 (6.11.)

Используя W(p), получим уравнение

, (6.12.)

которое является разновидностью символической записи уравнения (3.7).

Чтобы определить передаточную функцию в изображениях Лапласа, произведем преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях

; (6.13.)

Т.к. преобразованием по Лапласу называется функция

 (6.14.)

Поэтому с учетом (6.14)

,

где .

Тогда по определению передаточная функция в изображениях Лапласа

; (6.15.)

Поэтому уравнение в изображениях Лапласа приобретает вид

 (6.16.)

Операторная функция W(s) получается из передаточной функции операторной формы W(p) формальной подстановкой p= s; .

Такая связь между двумя формами передаточных функций справедлива только для стационарных систем.

Передаточные функции для ошибки по воздействию.

При исследовании точности замкнутых автоматических систем управления, разработчиков интересует зависимость ошибки e(t) от задающего воздействия g(t).

Эта зависимость определяется передаточной функцией для ошибки по задающему воздействию, которую обозначаем He(p). Если передаточная функция He(p) известна, то тогда:

E(p)= He(p)G(p) (6.17)

Чтобы найти эту передаточную функцию по заданной структурной схеме автоматической системы, целесообразно выразить ее через передаточную функцию замкнутой системы Wз(p) или через передаточную функцию разомкнутой системы Wp(p):

He(p)=

Wз(p)= (6.18)

He(p)=1-=

После того как передаточная функция Не(р) найдена, ошибка замкнутой автоматической системы управления для задающего воздействия g(t), может быть определена путем обратного преобразования Лапласа, т.е:

e(t)=L-1[E(p)]=L-1[He(p)G(p)]. (6.19)

Передаточная функция для ошибки по помехе.

Системы автоматического управления работают, как правило, в условиях помех. При этом задающее воздействие g(t) всегда приложено к входу системы, а помеха V(t) может быть приложена в произвольной точке системы, как показано на рисунке 6.3. Разомкнутый контур разделен на две части. W1(p)- не подвержена воздействию помех, а на входе второй W2(p) действует помеха V(t). При этом W(p)=W1(p)W2(p).



Рисунок 63 Приложение воздействий на САУ

Выходная величина САУ может быть представлена в виде:

y1(t)=y(t)+ev(t), (6.20)

где y(t)=Wз(p)g(t) - реакция системы на задающее воздействие.

Ev(t)= (6.21)

Составляющая ev(t) выходной величины y1(t) искажает значение управляемой величины y(t), т.е. является ошибкой системы, обусловленной помехой V(t).

Отношение изображения Ev(p) этой ошибки к изображению помехи V(p) определяет передаточную функцию системы автоматического управления для ошибки по помехе:

Hev(p) =(6.22)

Если помеха действует на входе системы, то получаем:

Hev(p)= =Wз(6.23)

Частотные функции

Если входное возмущение представляет собой гармоническое колебание , то передаточная функция превращается в частотную функцию или в частотную характеристику линейной системы

 - называется частотной передаточной функцией.

Ее можно представить в виде:

(6.24.)

где ;;(6.25.)

A(()- амплитудно-частотная характеристика;

((()- фазочастотная характеристика.



Рисунок 64 Частотная передаточная функция

На комплексной плоскости частотная передаточная функция определяет вектор 0C (длина) модуль - АЧХ, ((( )- фазочастотная характеристика (рис 6-3).

Физический смысл частотной характеристики

Установим, какой же физический смысл имеют частотные характеристики. Если на вход устойчивой линейной системы (стационарной) подается гармонический сигнал , то на ее выходе после окончания переходного процесса устанавливается гармонический процесс с амплитудой в b и фазой ( сдвинутой относительно фазы входного сигнала на угол( (рис 6-5)



Рисунок 65 Линейная система

Амплитуда b и сдвиг фазы ( зависят от частоты входного сигнала и свойств системы. Кроме того, амплитуда b зависит еще от амплитуды входного сигнала а. Но отношение  не зависит от амплитуды a. Оказывается, что и , то есть амплитудная частотная функция равна отношению амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного гармонического сигнала (в установившемся режиме), а фазовая частотная функция сдвигу фазы выходного сигнала.

Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ)

Кроме перечисленных логарифмических частотных характеристик используются (ЛЧХ) - логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ) и логарифмические фазовые частотные характеристики (ЛФЧХ).

ЛАЧХ - это график зависимости от логарифма частоты . При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе (на отметке, соответствующей значению, указывают значение, а по оси ординат - L(()).

ЛФЧХ - это график зависимости фазовой частотной функции ((() от логарифма частоты.

Временные характеристики САУ. Понятие о функции Грина

Для описания нелинейных детерминированных систем очень полезным является понятие функция Грина.

Пусть L представляет собой операторы дифференцирования, интегрирования и умножения на константу.

Например:;

где - выходной процесс, - входной процесс, a0, a1, a2 - постоянные коэффициенты. Это линейные уравнения второго порядка. Видно, если - является решением уравнения , то - также решением. Если y и z - решения уравнения, то  и , то есть

y+ z - также являются решением.

Рассмотрим x1 решение уравнения  и решение x2 решение уравнения . Тогда . Это наш первый и очень полезный результат, из которого вытекает следующее очень важное заключение:

Любое сложное входное воздействие можно представить в виде суммы составляющих, для каждой из которых уравнение можно решить отдельно. Складывая их, можно получить решение, соответствующее полному входному воздействию .

1.то есть ;

Например - ряд Фурье.

2.можно выбрать и другой набор



Это импульсные функции единичной интенсивности. Отклик на такой импульс имеет характер затухающих колебаний.

Общее решение получается в результате интегрирования по всем откликам, соответствующим импульсам, которые образуют входное воздействие. В этом заключается идея метода функций Грина.

Понятие функции Грина

Чтобы решить уравнение , где L= p линейный дифференциальный оператор. Предположим, что мы нашли оператор, обратный к L (обозначим его через L-1), такой что (где I - тождественный оператор). Например, если , то L-1 является оператором интегрирования ; .

Для дифференциального оператора общего вида можно предположить, что

L-1 представляет собой интегральный оператор с ядром , то есть

(6.26.)

Если найдено ядро G, то с помощью этого равенства можно найти решение дифференциального уравнения. Причем - это функция Грина, которая является очень полезным понятием. Это мы раскроем чуть позже.

Действуя вновь оператором по (1), получаем

(6.27.)

Поскольку оператор интегрирования и дифференцирования являются линейными, то их можно поменять местами. Тогда первая часть

 (6.28.)

И поскольку слева, очевидно стоит , то получаем

 (6.29.)

Известно, что  должно иметь следующее соотношение

 (6.30.)

Из уравнения (5) вытекает очень важный факт, что ядро , которое называется функцией Грина, удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению, если входное воздействие заменить на ( - функцию.

Оказывается функция Грина имеет простой физический смысл: это отклик на единичное импульсное воздействие



Простые системы типа "вход-выход" и функция Грина

x(t) y(t)







Система называется инвариантной во времени (или систем с постоянными параметрами), если входное воздействие возрождает отклик .

Если входным сигналам x1(t) и x2(t) соответствуют выходные сигналы y1(t)и y2(t)и при этом входной сигнал (а1 и а2 - константы) соответствует выходному сигналу - то система называется линейной.



 при - условие физической реализуемости.

Для стационарных систем

.

Вопросы

В чем заключается принцип суперпозиции?

Для чего используются передаточные функции системы?

Перечислите частотные функции?

В чем физический смысл функции Грина?

В чем отличие Логарифмических частотных характеристик, от частотных.

Лекция №9 Устойчивость линейных стационарных систем

Понятие устойчивости

Устойчивость является одним из основных требований, предъявляемых к системам автоматического управления (САУ). Неустойчивые САУ неработоспособны, поэтому важно уметь определять и соответствующий выбор структуры и параметры системы, обеспечить её устойчивость. В системе управления требуется поддерживать некоторое заданное движение, которое называется невозмущенным движением.

Вследствие различных возмущающих воздействий фактическое движение отличается от невозмущенного движения. В нормально функционирующей системе отклонение фактического движения от невозмущенного движения должно быть небольшим, а это возможно лишь в устойчивых системах.



Устойчивость по входу

Звено называется устойчивым по входу (осуществляющим устойчивое преобразование вход-выход), если при любом ограниченном входном воздействии x(t) и нулевых начальных условиях, выходная реакция y(t) является ограниченной при любом конечном  и при  и называется неустойчивым на входе в противном случае.

Об устойчивости по входу можно судить по свойствам весовой функции 

Теорема 4.1 Для того, чтобы звено, описываемое операторным уравнением, было устойчиво по входу, необходимо и достаточно выполнение условия .

Доказательство: известно, что вход и выход звена осуществляются по формуле.



Пусть x(t) – произвольно правильная функция, т.е. такая, что



Где С0 – некоторая константа. Тогда



Характеристическое уравнение

Устойчивость линейной системы зависит от её характеристического уравнения.



Где дифференциальный параметр собственный

P рассматривается, как переменная. Левая часть характеристического уравнения называется характеристическим полиномом.

Характеристический полином системы совпадает с её собственным оператором или знаменателем передаточной функции.

Необходимое и достаточное условие устойчивости

Для того чтобы линейная непрерывная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни её характеристического уравнения 

Или другая формулировка.

Для того чтобы линейная непрерывная система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни её характеристического уравнения были левыми, т.е. располагались в левой полуплоскости.

1) ; 

2) 

Условие строгой реализуемости передаточной функции

Многочлен Q(P) (характеристический многочлен звена) не имеет других корней, кроме корней с отрицательными вещественными частями (условие устойчивости характеристического многочлена).

Пример.

Идеальный усилитель Q(P)=1 и корней нет.

Интегратор Q(P)=P и один вещественный корень  система будет неустойчива.

Апериодическое звено Q(P)=TP+1 и один вещественный корень  при Т>0 система будет устойчива.

Колебательное звено  и имеется два комплексно -сопряженных корня,  причем вещественная часть отрицательна  система устойчива.

Эти звенья являются устойчивыми по входу, за исключением интегратора. Переходная функция неограниченно растет, хотя является реакцией на единичное воздействие 1(t).

Алгебраические критерии устойчивости

Акцентируем теперь внимание на то обстоятельство, что проверка условия устойчивости характеристического многочлена не требует вычисления всех его корней, а лишь выяснения того, расположены ли корни только в левой полуплоскости комплексной переменной P.

Нельзя ли установить этот факт, не находя корней?

Ответ на этот вопрос положительный. Алгебраическая проблема проверки устойчивости многочленов была впервые поставлена Максвеллом. Детальное и простое изложение этой проблемы содержится в книге «Устойчивые многочлены» Пестиков М.М.– М. Наука, 1981 -175 с.

Прежде всего, установим необходимое условие устойчивости.

Теорема. Если многочлен Q(P) с  устойчив, то все его коэффициенты положительны an>0.

Доказательство теоремы

Используем разложение многочлена Q(P) на простые двучлены и трехчлены. Каждому вещественному корню  соответствует двучлен , каждой паре комплексно сопряженных корней  - трехчлен , если все , , то коэффициенты во всех двучленах и трехчленах положительны, следовательно, положительны и коэффициенты в многочлене Q(P), являющимся их произведением.

Пример 1 Многочлен , заведомо неустойчив, поскольку коэффициент при P2 равен нулю.

Выполнение условия необходимости не гарантирует устойчивости многочлена при любом n, хотя оно достаточно при n=1, и n=2. При больших (n>2) приходится использовать более сложные процедуры. Кроме того, как известно из алгебры для уравнений 3 и 4 степени имеются общие формулы для нахождения корней, а для уравнений 5степени и выше, таких формул нет. Поэтому для систем выше 2 порядка особенно важны условия, которые позволяли бы судить об их устойчивости, не вычисляя корней характеристического уравнения. Такие условия называются критериями устойчивости.

Критерий устойчивости Гурвица

Для формулировки критерия Гурвица составим из характеристического уравнения определитель n-го порядка.



На главной диагонали, которого располагаются коэффициенты в порядке возрастания их индексов, начиная с a1 кончая an. В каждом столбце при движении от элемента, находящегося на главной диагонали, вверх индексы коэффициентов возрастают, вниз убывают, при этом на месте элементов с индексами, превышающими n (при движении вверх) и отрицательными индексами (при движении вниз), проставляются нули. Запишем частные миноры определителя 

и.т.д.



Назовем эти миноры, включая определитель , определителями Гурвица.

Формулировка критерия устойчивости Гурвица

Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица, составленные из коэффициентов её характеристического уравнения, были больше нуля (при a0>0).

i=1,n при a0>0

Из этого критерия следует, что при n=3, необходимое и достаточное условие устойчивости имеет вид.



Пример. Используем устойчивость системы в разомкнутом и замкнутом состояниях. Характеристическое уравнение разомкнутой системы . Необходимое условие не выполняется, т.к. при ( коэффициент a2=0. Поэтому разомкнутая система неустойчива.



Характеристическое уравнение замкнутой системы.



Проверим

 Замкнутая система устойчива.

Критерий Льенара

При выполнении условия  для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы были положительными или все определители Гурвица с четными индексами, или все определители Гурвица с нечетными индексами. Следовательно, чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы



Пример. Имеется характеристическое уравнение.



(Необходимое условие a0>0, a1=2>0, a2=3>0, a3=4>0, a4=5>0).

Согласно критерию необходимо и достаточно  Проверим выполнение более простого второго условия.



Система не устойчива.

Критерий устойчивости Рауса

Применение критерия требует составления таблицы Рауса. Элементами её первой строки являются четные коэффициенты характеристического уравнения, начиная с a0,a2 a4, …

Элементы последующих строк вычисляют по приведенным в таблице формулам. Причем при вычислении элементов какой-либо i-ой строки необходимо предварительно вычислить коэффициент ri. Всего в таблице заполняют n+1 строк.

Критерий формируют следующим образом: система устойчива, если все элементы первого столбца таблицы Рауса имеют одинаковый знак. Обычно характеристическое уравнение приводится к виду a0>0, тогда все элементы первого столбца должны быть положительными. Ci,1>0, i=2 ,n+1.

При наличии отрицательных элементов в первом столбце таблицы Рауса местами неустойчивы. Если один из элементов первого столбца равен 0, то системы на границе устойчивости характеристического уравнения имеют пару чисто мнимых корней.

При равенстве нулю последнего n+1 элемента или отрицательного элемента на первом столбце. Так как при таких условиях система находится на границе устойчивости или неустойчивости.

Составляя таблицу Рауса, расчет можно закончить при появлении первого нулевого или отрицательного элемента на первом столбце, т.к. система на границе устойчива или неустойчива.

Вспомогательные коэффициенты № строки № столбца    1 2 3  - 1 C11=a0 C21=a2 C13=a4  - 2 C21=a1 C22=a3 C23=a5   3 C31=C12+ r3C22 C32=C13+ r3C23 C33= C14+ r3C24   4 C41=C22+ r4C32 C42=C23+ r4C33 C43= C24+ r4C34  ----- ----- ----- ----- -----   i Ci1= Ci-2,2+ riCi-1,2 Ci2= Ci-2,3+ riCi-1,3 Ci3= Ci-2,4+ riCi-1,3         n+1 Ci,n+1= Cn-1,-2+ rn+1Cn,2 - -  

Вопросы

Какое значение имеет устойчивость в теории САУ?

Какое звено является устойчивым по входу?

Как формулируется достаточное условие устойчивости?

Какие критерии устойчивости являются алгебраическими?

В чем суть критерия устойчивости Гурвица?

В чем суть критерия устойчивости Льенара?

В чем суть критерия устойчивости Рауса?

Лекция № 10 Частотные критерии устойчивости

Частотными критериями называются критерии устойчивости, основанные на построении частотных характеристик. Запишем знаменатель передаточной функции.



Подставляя в него  получаем.



Кривую, которая описывает конец вектора  на комплексной плоскости при изменении  от 0 до называют кривой Михайлова.

Критерий Михайлова

Для того чтобы система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова, начинаясь при a0>0 с действительно положительной полуоси, при возрастании  последовательно обходила n квадрантов, в положительном направлении, не попадая в начало координат (рис. 8-1).



Рисунок 101 Годограф Михайлова

Пример: Характеристический полином.



Составим таблицу

w 0 0   X(w) 2 >0 1 >0 <0   Y(w) 0 >0 0 <0 <0   

Построим кривую Михайлова. В пределах квадранта всей кривой Михайлова на устойчивость не влияет, и она строится приблизительно. Система неустойчива, т.к. кривая не охватывает последовательно 1, 2, и 3 квадрант.



Рисунок 102 – Годограф Михайлова

Пример. Характеристический многочлен 

Для  имеем 

, 

Составим таблицу w 0 01   X(w) 0,5 >0 0 <0 -0,5 <0   Y(w) 0 >0 0,35 >0  <0   

Построим кривую Михайлова



Рисунок 103 Годограф Михайлова

Кривая последовательно охватывает все 3 квадранта, следовательно, система будет устойчивой.

Алгебраические критерии устойчивости и критерий Михайлова применимы для исследования замкнутой и разомкнутой систем.

Есть критерий, который предназначен для исследования лишь замкнутых систем. Этот критерий был сформулирован Найквистом.

Критерий Найквиста

Пусть l из корней разомкнутой системы находится в правой полуплоскости, а остальные n-l в левой полуплоскости. Тогда, для того, чтобы замкнутая система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика её разомкнутой системы с ростом w от 0 до  охватывала точку (-1,j0) в положительном направлении, т.е. против движения часовой стрелки в (l /2) раз.

В частности, если разомкнутая система устойчива (и, следовательно, l=0), то для того, чтобы замкнутая система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика её разомкнутой системы охватывала точку (-1, j0) в положительном направлении l/2 раза.

Пример: частотная передаточная функция её разомкнутой системы 

 



Составим таблицу. w 0 w>0   U(w) -2 <0   V(w) 0 <10   



Рисунок 104 Годограф Найквиста

Амплитудно – фазовая частотная характеристика разомкнутой системы охватывает точку (-1, j0) в положительном направлении ? раза. Характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет 1 корень, т.е. l=1, поэтому замкнутая система устойчива.

Примеры:



Варианты: a0 a1 a2 a3  1 1 2 2  3 2 1 2  

Анализ устойчивости типовых структур

Среди возможных структур связи между звеньями особо часто возникают некоторые простые структуры, которые будем называть типовыми. Все типовые структуры имеют внешний вход X и один внешний выход Y. К ним относятся последовательные и параллельные соединения звеньев, звенья с обратной связью.



Вывод1 Последовательно соединенные звенья устойчивы, если устойчивы все составляющие звенья.

Вывод 2 Параллельно соединенные звенья устойчивы, если и только если устойчивы все составляющие звенья.

Вывод3 Система с обратной связью устойчива, если передаточная функция разомкнутой системы является правильной дробью, кроме того, передаточная функция ни при каких w от 0 до  не является вещественным числом меньшим, либо равным -1.

Анализ устойчивости требуется рассмотренным методом.

Понятие запаса устойчивости по амплитуде и фазе

При выполнении условий критерия Найквиста годограф может при этом не охватывать точку (-1;j0) “с запасом”. Оценим этот запас. Рассматривается отдельно запас по амплитуде и по фазе.



Рисунок 105 Годограф Найквиста с запасом

Запас по амплитуде означает, что при увеличении коэффициента усиления на ?А система станет неустойчивой.

Аналогично, при появлении дополнительного фазового сдвига ?? система также станет неустойчивой. Разные причины могут влиять на запасы устойчивости. В процессе проектирования гарантируются запасы устойчивости не ниже заданных. Таким образом, запасы устойчивости - есть данные на проектирование САУ.

Критерий устойчивости Найквиста может быть сформулирован с помощью логарифмических частотных характеристик, при этом и запасы устойчивости можно сформулировать также и на языке ЛАЧХ и ФЧХ. При этом определяются ?Lдб = 20lg(?А) и ??.



Рисунок 106 Устойчивость и запасы устойчивости на языке ЛАЧХ и ЛФЧХ

где ? А - запас по амплитуде; ?? - запас по фазе.

Влияние звена чистого запаздывания на устойчивость

Чистое запаздывание – это часть системы (цепь или блок), при прохождении которой сигнал не меняет своей формы, но задерживается на время T.

Типичный пример: локальная сеть без потерь или длинная линия, или транспортная задержка.



Покажем, что такому преобразованию соответствует передаточная функция; для этого вычислим преобразование Лапласа выходного сигнала:

Wзап(p)=e-p?;

Таким образом, звену чистого запаздывания соответствует передаточная функция, не являющаяся дробно-рациональной. Она трансцендентная.

Рассмотрим АФЧХ - частотную характеристику звена чистого запаздывания:



При любом w получается точка единичной окружности.

АЧХ: |Wзап(j?)| = 1;

ФЧХ: ?(?)= -??;



Рисунок 107 Частотная характеристика

Видим, что звено чистого запаздывания добавляет отрицательный фазовый сдвиг, -1 1 чем больше, тем больше частота, тем самым уменьшая запас устойчивости по фазе. За счет этого сдвига система вполне может стать неустойчивой.

К сожалению, подобным образом нельзя описать запаздывание, зависящее от времени.

Фактически, мы ввели еще один стандартный блок, который можно было бы включить в стандартные звенья, если бы оно имело обычную, а не трансцендентную передаточную функцию. Полученное звено запаздывания формально является звеном бесконечного порядка, поэтому алгебраические методы исследования устойчивости системы, содержащей звенья запаздывания неприменимы.

Пример: Охватим инерционное звено ООС с запаздыванием на время ?.



Рисунок 108 Инерционное звено ООС с запаздыванием

Вычислим для замкнутой системы передаточную функцию и характеристический полином:



У такого характеристического полинома бесконечное число корней, среди которых могут быть и корни неустойчивые, поэтому численные методы становятся бессмысленными для обоснования устойчивости. Неприменимы критерий Гурвица и необходимое условие устойчивости, а вот частотные критерии устойчивости полностью применимы. Критерий Михайлова и, вытекающий из него критерий Найквиста, позволяют вполне корректно судить об устойчивости таких систем. Найдём АФЧХ разомкнутой системы.



Как выяснить, при каком значении ? система (замкнутая) становится неустойчивой. Рассмотрим пограничный случай - прохождение через (-1;j0) на некоторой частоте ?*. Будем искать то минимальное значение времени запаздывания, при котором появляется неустойчивость. Подставляем АЧХ и ФЧХ инерционного звена и звена чистого запаздывания, решаем комплексное уравнение относительно ?*. Для этого приравняем по отдельности модуль и аргумент, для модуля имеется следующее равенство:



Для равенства аргументов требуется, чтобы sin(arctg?*-?*?)=0; Отсюда вытекает, что



Поэтому для ? получаем:





Это значение ? есть то минимальное запаздывание в нашей системе, при котором замкнутая система уже становится неустойчивой. Заметим, что звено запаздывания может располагаться и в прямой ветви, в данном случае все расчёты сохраняются.

Вопросы

Какие критерии устойчивости называются частотными?

Какое звено является устойчивым по входу?

Какой будет устойчивость звеньев соединенных последовательно?

Что называется кривой Михайлова?

В чем суть критерия Найквиста?

Где применяется критерий Найквиста?

Интернет-ресурсы:

http://эссе.рф - сборник не проиндексированных рефератов. Поиск по рубрикам и теме. Большинство текстов бесплатные. Магазин готовых работ.