">
Математика Математический анализ
Информация о работе

Тема: Математическое моделирование физических процессов

Описание: Цель и задачи курсовой работы. Содержание и требования к ее оформлению. Исходные данные к выполнению. Методические указания расчетов. Математическое моделирование физических процессов. Практическе освоение общих вопросов теории моделирования.
Предмет: Математика.
Дисциплина: Математический анализ.
Тип: Курсовая работа
Дата: 03.09.2012 г.
Язык: Русский
Скачиваний: 21
Поднять уникальность

Похожие работы:

Министерство образования Республики Беларусь

Могилевский государственный технический университет

Кафедра “Физические методы контроля”



МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Методические указания к выполнению курсовой работы

для студентов специальности Т06.01. “Приборостроение”

Могилев 2001

УДК 681.2

Составитель: канд.техн.наук, доц. Усик В.Н.

Математическое моделирование физических процессов.–Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности Т06.01. “Приборостроение” дневной формы обучения. Могилев: МГТУ, 2001. – 15с.

Методические указания к курсовой работе предназначены для студентов специальности Т06.01. В указаниях определены задачи, требования и организационные вопросы выполнения курсовой работы. Сформулированы требования к составу и структуре пояснительной записки. Освещены узловые вопросы выполнения курсовой работы.

Одобрено кафедрой “Физические методы контроля” МГТУ (протокол … от ….….… 2001 года).

Рецензент А. А. Афанасьев

Редактор А.Т.Червинская

Рекомендовано к опубликованию комиссией методического совета МГТУ

Ответственный за выпуск В. Н. Усик

Математическое моделирование физических процессов

© Составление В.Н. Усик, 2001

Подписано в печать .Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная.

Усл.печ.л. . Уч.-изд.л. . Тираж экз. Заказ №___________

Издатель и полиграфическое исполнение:

Могилевский государственный технический университет

Лицензия ЛВ №243 от 22.02.2001 г., лицензия ЛП №165 от 22.02.2001 г.

212005, г.Могилев,пр.Мира,43

Содержание

1 Общие указания

1.1 Цель и задачи курсовой работы

1.2 Содержание курсовой работы и требования

к оформлению

2 Исходные данные к выполнению курсовой работы

3 Методические указания к выполнению расчетов

Список литературы

1 Общие указания

1.1 Цель и задачи курсовой работы

Выполнение курсовой работы по курсу “Математическое моделирование физических процессов” является важным этапом при подготовке квалифицированных специалистов специальности Т06.01 и может рассматриваться как подготовительный этап к изучению ряда специальных дисциплин на последующих курсах.

Цель курсовой работы заключается в практическом освоении общих вопросов теории моделирования, методов построения математических моделей и формирования описания объектов математических моделей для проведения вычислительных экспериментов и решения оптимизационных задач.

Выполнение курсовой работы ставит следующие задачи:

1) приобрести умение пользоваться литературой, справочными материалами, в которых освещаются те или иные вопросы математического моделирования;

2) закрепить и расширить знания основ построения математических моделей;

3) закрепить знания правил оформления документации в соответствии со стандартами;

4) подготовить студентов к самостоятельному решению задач, связанных с построением математических моделей физических процессов интроскопии.

1.2 Содержание курсовой работы и требования к ее оформлению

Курсовая работа выполняется в соответствии с заданием, которое включает краткое описание физического процесса, подлежащего моделированию, его схематизацию, основные исходные данные, условия протекания процесса, состав графической и расчетной части работы, а также этапы ее выполнения.

Курсовая работа должна включать пояснительную записку и графическую часть. Расчетно-пояснительная записка должна быть выполнена чисто и аккуратно на листах писчей нелинованной бумаги в соответствии с требованиями стандартов.

Расчетно-пояснительная записка включает титульный лист, задание на курсовую работу, содержание, вводную часть, расчетную часть и список использованных источников.

Во вводной части расчетно-пояснительной записки должен быть приведен анализ исходных данных, описаны условия протекания моделируемого процесса, освещены возможные пути построения математической модели.

В расчетной части необходимо изложить механизм получения математической модели, строго соблюдая при этом общепринятую этапность моделирования. При необходимости получаемые промежуточные соотношения должны поясняться с помощью схем, графиков и т.п.

Изложение пояснительной записки должно быть четким, логически последовательным и полностью раскрывающим существо рассматриваемых вопросов. При выполнении курсовой работы необходимо пользоваться общепринятой терминологией, сокращениями и обозначениями. Расчетные соотношения обязательно нумеруются и поясняются текстовой частью.

В состав графической части обычно включаются графики, полученные в ходе расчета. Графическая часть выполняется на миллиметровке и приводится в приложении к пояснительной записке. Все рисунки и графики должны соответствовать требованиям стандартов.

В списке литературы указываются источники, которые были использованы в процессе моделирования. При этом, в тексте работы в соответствующих местах приводятся ссылки на порядковый номер литературы.

2 Исходные данные к выполнению курсовой работы

В качестве объекта моделирования выбран волоконно-оптический первичный преобразователь физических величин, сводимых к перемещению подвижного элемента — шторки. Структурная схема такого преобразователя приведена на рисунке 2.1.

Световой поток от источника света 1 поступает в волоконно-оптический кабель 2 и далее в зону измерения. На расстоянии a от его выходного торца находится приемный торец световода 3. Часть света, не перекрытая подвижной шторкой 6, через световод 3 направляется на фотоприемник 4, где подвергается оптоэлектронному преобразованию в блоке 5. С выхода последнего подается сигнал y, функционально связанный с положением x подвижной шторки, при этом полученный сигнал зависит от формы шторки, формы излучающей площадки AA световода 2, приемной площадки BB световода 3, угла расходимости светового потока ? и расстояния a.

В результате выполнения курсовой работы необходимо:

1) построить упрощенную математическую модель заданного варианта преобразователя в виде функциональной зависимости Ф(x), где Ф — световой поток на выходе световода 3;

2) составить алгоритм и программу на языке высокого уровня для расчета значений передаточной функции Ф(x) в пределах диапазона преобразований физической величины x и получить значения функций Ф(x) для 15 – 20 точек диапазона измерения перемещения;

3) исходя из предположения, что один из параметров преобразователя (указан в задании) является случайной величиной с заданным законом распределения, составить алгоритм и программу вычислительного эксперимента по определению статистических характеристик (оценки дисперсии и математического ожидания) выходного потока Ф как функции от указанного параметра во всем диапазоне x. При этом исходный случайный параметр должен моделироваться по методу Монте-Карло с помощью датчика случайных чисел.

Варианты заданий представлены в таблице 2.1.



Рисунок 2.1 – Моделируемый преобразователь

Таблица 2.1 – Варианты заданий к курсовой работе





















Численные значения всех параметров приведены в таблице 2.2.

Таблица 2.2 – Исходные данные к курсовой работе № вар. ?, град. r1, мм r2, мм b, мм a, мм ?, град R, мм случ. пар. закон расп. m; ?  1 (13) 15 1 1,5  4 30  ? равн. ??????  2 (14) 10 2 2,2  15 90  r2 норм. r2; 1  3 (15) 30 1 2  6 90  ? равн. ??????  4 (16) 25 2 3  5 90  ? норм. ??????  5 (17) 20 1 1  4  d=1

c=0,8 d норм. d; 0,08  6 (18) 30 2 4  7  5 R равн. R; 0,1  7 (19) 20 1  2 8  6 b норм. b; 0,2  8 (20) 25 2  3 10 90  ? норм. ???????  9 (21) 20 1  2 5 90 4 R равн. R; 0,1  10 (22) 30 1 2  5  7 R равн. R; 0,4  11 (23) 15 1 1,8  8 60  r2 норм. r2; 0,1  12 (24) 20 2 2,7  6 90  ? равн. ??????  

Во всех случаях предполагается, что излучающий торец световода 2 имеет форму круга радиуса r1. Форму шторок и форму торца приемного световода 3 необходимо выбрать в соответствии с заданным вариантом. В вариантах 1–12 первоначальное положение шторки таково, что торец световода 3 является полностью освещенным, а в вариантах 13–24 — полностью затемненным. В вариантах 1–6, 10–12, 13–18 и 22–24 приемная площадка является кругом радиуса r2, в вариантах 7–8 и 19–20 — квадратом со стороной b, в варианте 9 и 21 — прямоугольным ромбом. В вариантах 1–4, 13–16, 6–12 и 18–24 шторка движется вдоль оси x, совпадающей с осью симметрии приемного торца. В вариантах 5, 17 шторка поворачивается относительно точки A. В этом варианте необходимо определить зависимость светового потока от угла поворота ?. При движении шторка полностью перекрывает (варианты 1–12) или открывает (13–24) торец световода 3.

3 Методические указания к выполнению расчетов

При выполнении п.1 задания рекомендуется придерживаться следующей последовательности расчетов:

1) получить формулу для расчета освещенности Е торца приемного световода 3;

2) выбрать начало отсчета по оси x. За начало отсчета необходимо выбрать такую точку x, при которой происходит “касание” краем шторки приемного торца световода 3;

3) выбрать конечные значения xk перемещения шторки. За конечные значения следует принять такое, при котором световой поток, поступающий на приемную площадку, будет полностью перекрываться или полностью освещать приемную площадку (в зависимости от варианта);

4) получить функцию изменения площади освещаемого приемного торца от произвольного значения перемещения x.

Световой поток Ф, падающий на произвольную площадку площадью S по нормали к ее поверхности, определяется из соотношения Ф=E.S, где E — освещенность площадки. Поток на выходе световода 2 условно принимается равным Ф0 и распространяется далее в виде конуса. Угол ? носит название угла рассеивания, значение которого задано в таблице 2. Для того, чтобы определить долю света, падающего в световод 3, необходимо рассчитать освещенность Е на его входном торце и площадь перекрытой шторкой поверхности световода S.

Расчет освещенности производится из условия сохранения светового потока при распространении в пустом изотропном пространстве, где отсутствует поглощение и рассеяние света. Это означает, что на любом расстоянии a от источника площадью S0 через сечение S1 проходит тот же поток Ф0 (рисунок 3.2). В результате освещенность светового пятна S1 равна

.(3.1)

Она зависит только от площади светового пятна S1. Последнее определяется для каждого конкретного случая в отдельности геометрическим путем, исходя из формы S0, угла ? и расстояния а.

Площадь перекрытия шторкой входного торца приемного световода изменяется от нуля (положение 1) до S2 (положение 2) для вариантов 1–12 либо от S2 (положение 2) до нуля (положение 1) для вариантов 13–24.

При выполнении п.2 необходимо разработать алгоритм, который позволял бы с помощью вычислительной техники рассчитать значения передаточной функции Ф(x). При этом весь диапазон изменения x необходимо разбить на 15–20 интервалов и для каждого текущего значения x вычислить значения Ф(x). Программа может быть написана на любом алгоритмическом языке высокого уровня и реализована на вычислительной технике. По результатам расчета требуется построить график передаточной функции Ф(x).

Выполнение п.3 предполагает проведение вычислительного эксперимента. При проведении вычислительного эксперимента предполагается, что один из параметров полученной модели является случайной величиной с заданным законом распределения (равномерным или нормальным).

В первом случае плотность распределения данного параметра

,(3.2)

где (t1;t2) — интервал возможных значений t.



Рисунок 3.1 – Схема расчета освещенности



Рисунок 3.2 – Схема, поясняющая выбор начального x0 и конечного xk значений перемещения

Математическое ожидание в этом случае составляет

,(3.3)

а среднеквадратическое отклонение -

.(3.4)

По заданным для равномерного закона распределения плотности вероятностей mt и st можно определить границы интервала (t1;t2), в котором изменяются значения случайного параметра t. Это можно сделать путем решения системы уравнений:

(3.5)

Для нормального закона соответственно:

.(3.6)

В этом случае заданные вероятностные характеристики mt и st определяют форму кривой распределения плотности вероятностей.

Разрабатываемая программа обязательно должна содержать датчик случайных чисел, генерирующий соответствующие случайные значения.

В большинстве алгоритмических языков высокого уровня содержатся стандартные функции — датчики случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0;1).

Для получения равномерно распределенного числа в интервале (t1;t2) используют масштабирующее соотношение в виде:

,(3.7)

гдеzi — случайное число, равномерно распределенное в интервале (0;1).

Построение на основе стандартного датчика нормальных случайных чисел с mt=0 и ?t=1 осуществляется с помощью одного из соотношений:

(3.8)

(3.9)

гдеz1,i, z2,i — случайные числа, имеющие равномерное распределение в интервале (0;1).

.(3.10)

В целом алгоритм реализации численного эксперимента включает:

1) задание фиксированной точки диапазона x;

2) многократное обращение к датчику случайных чисел и накопление таким образом выборки случайных значений, распределенных в соответствии с заданным законом;

3) масштабирование полученного стандартного случайного числа исходя из заданных вероятностных характеристик;

4) расчет на основе полученной зависимости Ф(x) выборки значений Ф(xi) при фиксированном x и наборе значений случайного параметра;

5) расчет среднего значения и дисперсии выборки.

По результатам расчета необходимо построить зависимости среднего значения и дисперсии выборки от перемещения.

Список литературы

1. Советов Б.Я. Моделирование систем./Б.Я.Советов, С.А. Яковлев. –М.: Высшая школа, 1985.

2. Веников В.А. Теория подобия и моделирования.–М.: Высшая школа, 1976.

3. Краснощеков П.С. Принципы построения моделей./ П.С.Краснощеков, А.А. Петров. –М.: Изд-во МГУ, 1983.

4. Смит Джон М. Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей / Под ред. О.А.Чембровского.–М.: Машиностроение, 1980.

5. Пешель М. Моделирование сигналов и систем.–М.: Мир, 1981.

6. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. Введение в информатику с позиции математического моделирования.–М.: Наука, 1988.

7. Шрейдер Ю.А. Системы и модели. /Ю.А.Шрейдер, А.А. Шаров. –М.: Радио и связь, 1982.

8. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.–М.: Высшая школа, 1977.

9. Любарская Г.Я. Математическое моделирование и эксперимент.–Киев: Навукова думка, 1987.