Тема: Метод Ньютона, метод Эйлера, метод трапеции

Геометрически метод Эйлера означает, что на каждом шаге мы аппроксимируем решение (интегральную кривую) отрезком касательной проведенной к графику решения в начале интервала.

Точность метода невелика и имеет порядок h. Говорят. Что метод Эйлера – метод первого порядка, то есть его точность растет линейно с уменьшением шага h.

Существуют различные модификации, и все они основаны на том, что производную, вычисленную в начале интервала, заменяют на среднее значение производной на данном интервале
.

Начальные условия

Шаг изменения аргумента

Количество шагов вычислений

Формула эйлера

Метод Ньютона

Пусть на отрезке [a;b] отделен корень с уравнением f(x)=0 и f –функция непрерывна на отрезке [a;b], а на интервале [a;b] существуют отличные от нуля производные f’ и f’’.

Так как f’(x)=0, то запишем уравнение f(x)=0 в виде:

x=x-(f(xn)/f’(xn)) (1)

Решая его методом итераций можем записать:

xn+1=xn-(f(xn)/f’(xn)) (2)

Если на отрезке [a;b] f’(x)*f’’(x)>0, то нулевое приближение выбираем х0=а. Рассмотрим геометрический смысл метода. Рассмотрим график фукции y=f(x). Пусть для определенности f уравнение будет иметь вид:

y=f(b)+f’(b)*(x-b)

Пологая в уравнении y=0 и учитывая, что f’(x)1 0, решаем его относительно х. Получим:

x=b-(f(b)/f’(b))

Нашли абсциссу х1 точки с1 пересечения касательной с осью ох:

x1=b-(f(b)-f’(b))

Граничные значения отрезка

Описание функции



RKFIXED’

Метод трапеции

Метод трапеции дает один из простейших способов решения определенного интеграла. Геометрическая интерпретация состоит в том, что площадь криволинейной фигуры подменяется площадью трапеции. Общая формула трапеции для отрезка

Указываем начальную и конечную точки

Формула трапеции для отрезка [2;6]

Задаем функцию

Число измерений

N:=10000