">
Право Основы государства и права
Информация о работе

Тема: Академия гражданской защиты

Описание: Математическая статистика. Первая задача. Основные цели данной курсовой работы. Методы результатов выборки. Выборочное среднее квадратическое отклонение. Основной принцип проверки. Вариационный ряд выборки. Гистограмма приведенных частот.
Предмет: Право.
Дисциплина: Основы государства и права.
Тип: Курсовая работа
Дата: 03.09.2012 г.
Язык: Русский
Скачиваний: 57
Поднять уникальность

Похожие работы:

Курсовая работа

ПО ДИСЦИПЛИНЕ Д-14/4 МАТЕМАТИКА

_____________________________________________________________________________________________

2011

АКАДЕМИЯ ГРАЖДАНСКОЙ ЗАЩИТЫ

Кафедра _______________________________________________

(наименование или номер кафедры)

(гриф секретности)

Экз. № ______

УТВЕРЖДАЮ

начальник кафедры____________________________________________

(должность, воинское звание, подпись, фамилия)

«______» _______________________ 201 г.

ЗАДАНИЕ

на курсовую работу (задачу)

по дисциплине______________________________________

(наименование учебной дисциплины)

Курсанту (слушателю) факультета ____________________________________

(воинское звание, фамилия, имя, отчество)

Тема________________________________________________________________

Обсуждено на заседании кафедры

«______»____________ 201 ____г.

Протокол №__________________

2011

Целевая установка:_____________________________________________

Основные вопросы:_____________________________________________

________________________________________________________________

Исходные данные

(обстановка):___________________________________________

________________________________________________________________

IV. Перечень материалов, представляемых

к защите:___________________________________________________

________________________________________________________________

Перечень экспериментальных работ и расчетов на ЭВМ, проводимых в процессе работы над темой: _________________________

________________________________________________________________

VI. Общий объем и требования к оформлению отчетных материалов: ________________________________________________________________

________________________________________________________________

VII. Перечень литературы: ______________________________________

________________________________________________________________

VIII.Сроки представления выполненной работы руководителю и готовность ее к защите __________________________________________

_______________________________________________________________

Руководитель____________________________________________________

(должность, воинское звание, подпись, фамилия)

«_____» _______________ 201 г.

Консультант_________________________________________________________

(должность, воинское звание, подпись, фамилия)

«_____»_______________ 201 г.

Задание получил_____________________________________________________

(воинское звание, подпись, фамилия курсанта (слушателя))

«_____»_______________201 г.

Содержание

Введение

Основная часть

Теоретическая часть

Выборка и способы ее задания

Графические элементы анализа

Точечные оценки параметров распределения выборки

Интервальные оценки параметров распределения выборки

Статистическая проверка статистических гипотез

Практическая часть

Графическое представление выборки

Точечные оценки параметров выборки

Интервальные оценки параметров нормально распределенной случайной величины

Проверка статистических гипотез

Заключение

Введение

Математическая статистика – наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющая оценивать надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала(например, оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

Первая задача математической статистики – указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача математической статистики – разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования.

Первые начала математической статистики можно найти уже в сочинениях создателей теории вероятностей — Я. Бернулли (конец 17 — начало 18 веков), П. Лапласа (2-я половина 18 — начало 19 веков) и С. Пуассона (1-я половина 19 века). В России методы математической статистики в применении к демографии и страховому делу развивал на основе теории вероятностей В. Я. Буняковский (1846). Решающее значение для всего дальнейшего развития математической статистики имели работы русской классической школы теории вероятностей 2-й половины 19 — начала 20 веков (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов, С. Н. Бернштейн). Многие вопросы теории статистических оценок были по существу разработаны на основе теории ошибок и метода наименьших квадратов [К. Гаусс (1-я половина 19 века) и А. А. Марков (конец 19 — начало 20 веков)]. Работы А. Кетле (19 век, Бельгия), Ф. Гальтона (19 век, Великобритания) и К. Пирсона (конец 19 — начало 20 веков, Великобритания) имели большое значение, но по уровню использования достижений теории вероятностей отставали от работ русской школы. К. Пирсоном была широко развёрнута работа по составлению таблиц функций, необходимых для применения методов математической статистики. В создании теории малых выборок, общей теории статистических оценок и проверки гипотез (освобожденной от предположений о наличии априорных распределений), последовательного анализа весьма значительна роль представителей англо-американской школы [Стьюдент (псевдоним У. Госсета), Р. Фишер, Э. Пирсон — Великобритания, Ю. Нейман, А. Вальд — США], деятельность которых началась в 20-х годах 20 века. В СССР значительные результаты в области математической статистики получены В. И. Романовским, Е. Е. Слуцким, которому принадлежат важные работы по статистике связанных стационарных рядов, Н. В. Смирновым, заложившим основы теории непараметрических методов математической статистики Ю. В. Линником, обогатившим аналитический аппарат математической статистики новыми методами. На основе данной науки особенно интенсивно разрабатываются статистические методы исследования и контроля массового производства, статистические методы в области физики, гидрологии, климатологии, звёздной астрономии, биологии, медицины и другие.

Основными целями данной курсовой работы являются:

1. Закрепление, обобщение и углубление знаний, полученных при изучении курса высшей математики.

2. Овладение навыками применения приобретенных знаний для комплексного решения конкретных практических задач, производства расчетов, программирования.

3. Развитие навыков самостоятельного проведения научных исследований, обоснования применяемых решений и самостоятельного научного творчества.

Методы статистической обработки результатов выборки

Выборка и способы ее задания

Генеральной совокупностью называют полную совокупность объектов, из которых производится выборка.

Выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности.

Объемом выборки называют число объектов этой выборки.

Если результаты выборки представлены числовыми значениями, то размах выборки - это разность между самым большим и самым малым значениями выборки.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем числовое значение x1 наблюдалось n1 раз, x2 – n2 раза, … , xr – nr раз. Тогда объем выборки

. (1)

Наблюдаемые значения xi выборки называют вариантами, а их последовательность, записанная в возрастающем порядке, - вариационным рядом. Числа ni называют частотами соответствующих вариант, wi = ni/n – относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот. Таким образом, статистическое распределение выборки задается в виде двух строк:

x1, x2, … , xr (2)

n1, n2, … , nr

или в виде таблицы, состоящей из двух строк (столбцов): xi: x1 x2 … xr  ni: n1 n2 … nr   (3)

Замечание. В тех случаях, когда число вариант велико, статистическое распределение выборки можно задать в виде последовательности интервалов ?1, ?2, … , ?m, обычно, равной длины h. В этом случае в качестве варианты xi*, представляющей интервал ?i, назначается среднее из вариант, попавших на интервал, и ей назначается частота ni*, равная сумме частот вариант из интервала. Такой способ представления выборки называют группировочным или интервальным.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения аргумента x относительную частоту наступления события, состоящего в том, что значение X выборочной варианты будет меньше x:

 (4)

Графические элементы анализа

Графиком эмпирической функции распределения называют график функции F*(x). График строится на двух осях: на оси OX откладываются значения вариант xi, а на оси OY – значения функции F*(x), подсчитываемые по формуле (4). График представляет ступенчатую фигуру, начинающуюся с 0 для x ? x1, и монотонно поднимающуюся до значения 1 при xr < x.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1;n1), (x2;n2), … , (xr;nr).

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1, w1), (x2, w2), … , (xr, wr).

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы ?i длиной h и высотой ni/h (плотность частот).

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы ?i длиной h и высотой wi/h (плотность относительных частот).

2. Точечные оценки параметров распределения выборки

Пусть из генеральной совокупности в результате n испытаний над количественным признаком X извлечена выборка объемом n: варианты x1, … , xr и их частоты n1, … , nr.

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Точечные оценки обычно используют в тех случаях, когда число наблюдений велико.

Выборочной средней xв называют среднее арифметическое значение вариант выборки. Если значения вариант x1, x2, … , xr имеют соответственно частоты n1, n2, … , nr, то

. (5)

Выборочной дисперсией Dв называют среднее арифметическое квадратов отклонений вариант xi от их среднего значения xв, т.е.

. (6)

Выборочным средним квадратическим отклонением ?в называют квадратный корень из выборочной дисперсии Dв

. (7)

Исправленную (несмещенную оценку) дисперсию s2 выборки получают по формуле

. (8)

Аналогично вводится исправленное среднее квадратическое отклонение s

. (9)

3. Интервальные оценки параметров распределения выборки

Интервальной называют оценку, которая задается в виде интервала. Интервальные оценки удобно использовать в тех случаях, когда число наблюдений n относительно невелико.

Пусть для неизвестного параметра ? количественного признака X генеральной совокупности статистическими методами найдено значение ?*. Зададимся точностью ?, т.е. | ? - ?* | < ?.

Надежностью оценки неизвестного параметра ? по вычисленному статистическими методами значению ?* называют вероятность ?, с которой выполняется неравенство| ? - ?* | < ?, при этом ? называется точностью оценки. В статистике обычно задаются надежностью ? и определяют точность ?.

Доверительным интервалом для параметра ? называют интервал (?* - ?, ?* + ?), который покрывает неизвестный параметр ? с вероятностью ?:

P[?* - ? Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение ? неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание a по результатам выборки с заданной надежностью ?.

Доверительный интервал с уровнем надежности ? для математического ожидания a признака X, распределенного нормально, при неизвестном среднем квадратическом отклонении определяется как

, (10)

где xв – выборочное среднее; s – исправленное среднее квадратическое отклонение выборки; n – объем выборки. Точность оценки ? в этом случае . Значение t? = t(?,n) можно найти из справочной таблицы ”Таблица значений t? = t(?,n)” для распределения Стьюдента.

Доверительный интервал с уровнем надежности ? для среднего квадратического отклонения ? признака X, распределенного нормально, определяется как

, (11)

где s – исправленное среднее квадратическое отклонение выборки; n – объем выборки. Значение q = q(?,n) можно найти из справочной таблицы ”Таблица значений q = q(?,n)” для распределения ?2.

В случае, когда q >1 доверительный интервал имеет вид

.(11)

4. Статистическая проверка статистических гипотез

Статистической называют гипотезу (предположение) о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения. Основной или нулевой гипотезой H0 называют выдвинутую гипотезу о неизвестном распределении, вместе с основной H0 выдвигается и конкурирующая (альтернативная) гипотеза H1, противоречащая основной.

Основной принцип проверки статистических гипотез состоит в следующем:

в зависимости от вида гипотезы и характера неизвестного распределения вводится функция K, называемая критерием, по значениям ее будет приниматься решение о принятии или отклонении основной гипотезы H0. Вводится также уровень значимости ? как вероятность того, что будет отвергнута верная нулевая гипотеза и принята неверная гипотеза H1.

Областью принятия гипотезы H0 называют те значения критерия K, при которых основная гипотеза H0 принимается, критической областью – отвергается. Для каждой выборки и конкретного вида критерия K по специальным таблицам находятся значения kкр, называемые критическими точками; критические точки отделяют область принятия гипотезы от критической области. Правосторонней называют критическую область, где K > kкр, левосторонней K < kкр и двусторонней (и симметричной) | K| > kкр.

Пусть из генеральной совокупности в результате n испытаний над количественным признаком X извлечена выборка объемом n: равноотстоящие с шагом h варианты x1, … , xr и их частоты n1, … , nr. Для нее подсчитаны по формулам (5-9) выборочное среднее xв и выборочное среднее квадратическое отклонение ?в.

Для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности c уровнем значимости ? используется критерий ?2 Пирсона:

(12)

Критическое значение ?2кр = ?2 (?,k) для этого критерия находится из справочной таблицы “Критические точки распределения ?2”. Здесь k = r - 3. Если вычисленное по результатам наблюдений по формуле (12) значение критерия ?2набл больше ?2кр, основная гипотеза отвергается, если меньше - нет оснований отвергнуть основную гипотезу.

Если варианты x1, x2, … , xr не являются равноотстоящими или число их сравнительно велико, удобно сгруппировать варианты в отдельные интервалы ( не обязательно равноотстоящие ) [x1*;x2*), [x2*;x3*), …, [xm-1*;xm*). Каждому интервалу назначается представительное значение, равное середине интервала xi.ср* = (xi* + xi-1*)/2 и частота ni*, равная сумме частот, попавших на интервал. В соответствии с критерием Пирсона, частоты ni*, попавшие на интервалы [xi* ; xi-1*), сравниваются с теоретическими частотами ni, вычисленными для соответствующих интервалов нормальной случайной величины Z с нулевым математическим ожиданием и единичным средним квадратическим отклонением (Z принадлежит N(0,1)).

, (13)

ni = nPi, где n - обьем выборки;

Pi = Ф(zi+1) – Ф(zi), вероятности попадания X на интервал (xi*,xi+1*) или

Z на (zi,zi+1);

zi = (xi ср*–xв*) / ?*; i = 2,3,..,m-1; крайние интервалы открываем z1 = –?,

zm = ?, а Ф(zi) – значение функции Лапласа.

Критическое значение ?2кр = ?2 (?,k) для этого критерия находится из справочной таблицы “Критические точки распределения ?2”. Здесь k = m – 3. Если вычисленное по результатам наблюдений по формуле (13) значение критерия ?2набл меньше ?2кр, нет оснований отвергнуть основную гипотезу, если больше – основная гипотеза не принимается.

Для проверки гипотез о дисперсии ?2 генеральной совокупности с нормальным законом распределения при заданном уровне значимости ? используется критерий

, (14)

где s2 – исправленная дисперсия выборки; n – объем выборки; ?02 – гипотетическое значение дисперсии.

А) Пусть выдвинута нулевая гипотеза H0: ?2 = ?02 о равенстве неизвестной генеральной дисперсии ?2 предполагаемому значению ?02 при конкурирующей гипотезе H1: ?2 ? ?02. Для проверки этой гипотезы по результатам выборки вычисляется значение критерия (14) ?2выб. Затем по таблице «Критические точки распределения ?2», по заданному уровню значимости ? и числу степеней свободы k = n – 1 находятся левое критическое значение ?2лев.кр(1 – ?/2;k) и правое критическое значение ?2прав.кр(?/2;k). Если при этом ?2лев.кр < ?2выб < ?2прав.кр, нет оснований отвергнуть основную гипотезу, конкурирующая – отвергается. В противном случае принимается конкурирующая гипотеза и отвергается основная.

Б) Пусть теперь выдвинута нулевая гипотеза H0: ?2 = ?02 о равенстве неизвестной генеральной дисперсии ?2 предполагаемому значению ?02 при конкурирующей гипотезе H1: ?2 > ?02. Для проверки этой гипотезы по результатам выборки вычисляется значение критерия (14) ?2выб. Затем по таблице «Критические точки распределения ?2», по заданному уровню значимости ? и числу степеней свободы k = n – 1 находится критическое значение ?2кр( ?;k). Если при этом ?2выб < ?2кр, нет оснований отвергнуть основную гипотезу, а конкурирующая – отвергается.

В) Пусть теперь выдвинута нулевая гипотеза H0: ?2 = ?02 о равенстве неизвестной генеральной дисперсии ?2 предполагаемому значению ?02 при конкурирующей гипотезе H1: ?2 < ?02. Для проверки этой гипотезы по результатам выборки вычисляется значение критерия (14) ?2выб. Затем по таблице «Критические точки распределения ?2», по заданному уровню значимости ? и числу степеней свободы k = n – 1 находится критическое значение ?2кр( 1- ?;k). Если при этом ?2выб > ?2кр, нет оснований отвергнуть основную гипотезу, конкурирующая – отвергается.

Для проверки гипотез неизвестной средней a генеральной совокупности с нормальным законом распределения с неизвестной дисперсией при заданном уровне значимости ? используется критерий Стьюдента

 , (15)

где xвыб – выборочное среднее; a0 гипотетическое значение средней; n – объем выборки; s – исправленное среднее квадратическое отклонение.

А) Пусть выдвинута нулевая гипотеза H0: a = a0 о равенстве неизвестной генеральной средней a предполагаемому значению a0 при конкурирующей гипотезе H1: a ? a0 . Для проверки этой гипотезы по результатам выборки вычисляется значение критерия (15) Tвыб. Затем по таблице «Критические точки распределения Стьюдента», по заданному уровню значимости ? и числу степеней свободы k = n – 1 находится двустороннее критическое значение Tдвустор.кр(?;k). Если при этом | Tвыб | < Tдвустор.кр, нет оснований отвергнуть основную гипотезу, а конкурирующая – отвергается.

Б) Пусть теперь выдвинута нулевая гипотеза H0: a = a0 о равенстве неизвестной генеральной средней a предполагаемому значению a0 при конкурирующей гипотезе H1: a > a0 . Для проверки этой гипотезы по результатам выборки вычисляется значение критерия (15) Tвыб. Затем по таблице «Критические точки распределения Стьюдента», по заданному уровню значимости ? и числу степеней свободы k = n – 1 находится критическое значение Tправостор.кр(?;k). Если при этом Tвыб < Tправостор.кр, нет оснований отвергнуть основную гипотезу , а конкурирующая – отвергается.

В) Пусть теперь выдвинута нулевая гипотеза H0: a = a0 о равенстве неизвестной генеральной средней a предполагаемому значению a0 при конкурирующей гипотезе H1: a < a0 . Для проверки этой гипотезы по результатам выборки вычисляется значение критерия (15) Tвыб. Затем по таблице «Критические точки распределения Стьюдента», по заданному уровню значимости ? и числу степеней свободы k = n – 1 находится критическое значение Tправостор.кр(?;k) и полагают Tлевостор.кр = –Tправостор.кр. Если при этом Tвыб > Tлевостор.кр, нет оснований отвергнуть основную гипотезу, а конкурирующая – отвергается.

0. Исходные данные по выборке (100 чисел из табл. 1 задания на работу сведены в табл. А)

Таблица А 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  136,4 173,8 186,4 179,7 182,1 188 191,8 186,5 161,3 182,9  147,6 169,8 172,8 180,4 205,4 183,2 182,1 206,4 186,3 187,8  183 178 169,5 183,9 175,1 186 164,9 170,2 151,2 192,3  170,7 195,2 225,7 187,3 149,5 162,6 166 188,2 178,1 193,9  162 182,7 175,7 183,5 158,8 163,4 166,8 203,1 186,1 193,4  181,4 187,6 160,8 169,7 160,1 163,4 184,1 152,6 201,9 183,9  191,5 191 191,3 155,7 172,2 173,8 173,9 199,6 161,5 169,5  184,5 179,7 174,1 201,1 180,9 160,3 199,5 164,2 174,2 186,9  180,1 184,1 161,9 194,5 171 137,3 159,3 186,8 187,1 177,7  168,5 182,4 164,4 162,6 175 199,1 185,7 164,2 182,7 167  

I. Графическое представление выборки

1. Размах выборки R и объем выборки n.

xmin xmax R  136,4 225,7 89,3  Находим xmin = 136,4 и xmax = 225,7. Тогда размах выборки R = xmin – xmax = 136,4. По условию задачи объем выборки n = 100.

2.Разбиваем значения выборки на 10 интервалов (для упрощения расчетов полагая их длины одинаковыми и равными ? = R / 10 = 136,4/ 10 = 8,93; nинт = 10. Результаты сведены в табл. Б.

Таблица Б

1 ?1= 136,4 145,33 6 ?6= 181,05 189,98  2 ?2= 145,33 154,26 7 ?7= 189,98 198,91  3 ?3= 154,26 163,19 8 ?8= 198,91 207,84  4 ?4= 163,19 172,12 9 ?9= 207,84 216,77  5 ?5= 172,12 181,05 10 ?10= 216,77 225,7  

3. Строим вариационный ряд выборки, для чего результаты выборки следует упорядочить (отсортировать) по возрастанию. В табл. В вариационный ряд приведен во втором столбце. Для удобства расчетов в третьем столбце приведены интервалы ?i и их границы.

Далее находим количество ni (частоты) вариант, попавших на интервалы ?i и среднее значение xi ср случайной величины на соответствующем интервале.

Таблица Bi варианты ?i ni xi ср  1 136,4 136,4-145,33 2 136,85   137,3     2 147,6 145,33-154,26 4 150,23   149,5      151,2      152,6     3 155,7 154,26-163,19 12 160,58   158,8      159,3      160,1      160,3      160,8      161,3      161,5      161,9      162      162,6      162,6     4 163,4 163,19-172,12 17 167,25   163,4      164,2      164,2      164,4      164,9      166      166,8      167      168,5      169,5      169,5      169,7      169,8      170,2      170,7      171     

Продолжение табл. B 5 172,2 172,12-181,05 18 176,40   172,8      173,8      173,8      173,9      174,1      174,2      175      175,1      175,7      177,7      178      178,1      179,7      179,7      180,1      180,4      180,9     6 181,4 181,05-189,98 29 184,94   182,1      182,1      182,4      182,7      182,7      182,9      183      183,2      183,5      183,9      183,9      184,1      184,1      184,5      185,7      186      186,1      186,3      186,4      186,5      186,8      186,9      187,1      187,3      187,6      187,8      188      188,2      Окончание табл. B 7 191 189,98-198,91 9 192,77   191,3      191,5      191,8      192,3      193,4      193,9      194,5      195,2     8 199,1 198,91-207,84 8 202,01   199,5      199,6      201,1      201,9      203,1      205,4      206,4     9 225,7 216,77-225,7 1 225,70    ?ni= 100   

В столбце с обозначением ni подсчитываем число вариант, попавших на соответствующий интервал ?i.

В столбце с обозначением xi ср вычисляем среднее значение вариант, попавших на соответствующий интервал ?i.

По найденным значениям ni и xi ср составляем табл. Г, где проводим подсчет нужных статистических параметров выборки.

Таблица Гi ni xi cp  ni= ni/? wi=ni/n ?i=wi/? F*i  1 2 136,85 0,223964 0,02 0,002240 0,02  2 4 150,23 0,447928 0,04 0,004479 0,06  3 12 160,58 1,343785 0,12 0,013438 0,18  4 17 167,25 1,903695 0,17 0,019037 0,35  5 18 176,40 2,015677 0,18 0,020157 0,53  6 29 184,94 3,247480 0,29 0,032475 0,82  7 9 192,77 1,007839 0,09 0,010078 0,91  8 8 202,01 0,895857 0,08 0,008959 0,99  9 1 225,70 0,111982 0,01 0,001120 1,00  

Проводим подсчеты для эмпирической функции распределения вероятностей.

4. Строим график эмпирической функции распределения вероятностей F*(x)

5.Строим полигон частот n(x)

6. Строим полигон относительных частот w(x)

7. Строим гистограмму приведенных частот n(x)

8. Строим гистограмму относительных частот w(x)

II. Точечные оценки параметров выборки

xB 177,600  DB 223,547  ?B 14,951  s2 235,313  S 15,340  9. Выборочное среднее xв = ?wi xi ср = 177,600

10. Выборочная дисперсия S2 = Dв = ?wi (xi ср–xв)2 = 223,547

выборочное среднее квадратическое отклонение ?в=Dв? = 14,951

11. Исправленная выборочная дисперсия

s2 = Dв n / (n–1) = 235,313

исправленное выборочное средне квадратическое отклонение s = (s2)? = 15,340

III. Интервальные оценки параметров нормально распределенной случайной величины

Таблица Д

i xi вариационный ряд  1,00 136,40 136,40  2,00 147,60 147,60  3,00 183,00 162,00  4,00 170,70 168,50  5,00 162,00 169,80  6,00 181,40 170,70  7,00 191,50 173,80  8,00 184,50 178,00  9,00 180,10 179,70  10,00 168,50 180,10  11,00 173,80 181,40  12,00 169,80 182,40  13,00 178,00 182,70  14,00 195,20 183,00  15,00 182,70 184,10  16,00 187,60 184,50  17,00 191,00 187,60  18,00 179,70 191,00  19,00 184,10 191,50  20,00 182,40 195,20  xB 176,50 176,50  s2 210,43    s 14,51   12. Найдем доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении с надежностью 0,95.

При объеме выборки n = 20 и надежности ? = 0.95, нужно найти выборочное среднее xв и исправленное среднее квадратическое отклонение s

xв = (?xi) / n =176,50;

s2 = (?(xi – xв)2) / (n – 1) =210,43;

s = (s2)? =14,51.

По справочным таблицам для n = 20 и ? = 0,95 находим t?:

t? = 2,09.

Тогда доверительный интервал для математического ожидания a равен

хв– t? s / vn < a < хв– t? s / vn

или

176,5-2,1*14,5/v20 169,7213. Найдем доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения ? с надежностью 0,95.

При объеме выборки n = 20 и надежности ? = 0.95,

s(1–q) < ? < s(1+q).

Значение q находим из таблиц : q = 0,37.

Тогда доверительный интервал для среднего квадратического отклонения ? равен

14,51(1-0,37) 9,14

IV. Проверка статистических гипотез

14. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости ? = 0,05. В качестве нулевой (основной) гипотезы H0 примем предположение о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости ? = 0,05.

1) Предварительно разобьем весь размах выборки на 5 равных частей длиной h точками xi*, i = 1,..,6.

xmin 136,40  xmax 195,20  h= 11,76  xmin = 136,40; xmax = 195,20; h = (195,20-136,40) / 5 = 11,76.

Вычислим выборочную среднюю xв* и среднее квадратичное отклонение ?*, причем в качестве вариант xi , берем середины интервалов xi ср* = (xi* + xi+1*)/2. Результаты сведены в табл. Е.

Таблица Е

i-номер интерв. Границы интервалов Xi cp* частоты ni*   Xi* Xi+1*    1 136,40 148,16 142,28 2  2 148,16 159,92 154,04 0  3 159,92 171,68 165,80 4  4 171,68 183,44 177,56 8  5 183,44 195,20 189,32 6    XB*= 175,21 20    ?*= 13,71   

2) От случайной величины X перейдем к стандартной случайной величине Z из N(0,1), сдвинув математическое ожидание xв в начало координат и пронормировав по ? к единице: zi = (xi ср*–xв*) / ?*; i = 1, 2, 3, 4, 5; при этом полагаем z1 = – ?, а z6 = ?. Результаты сведены в табл. Ж.

Таблица Ж

3) Вычислим теоретические частоты в предположении, что Z нормальная случайная величина.

ni = nPi, где n – объем выборки ( в рассматриваемом случае n = 20 ), Pi = Ф(zi+1) – Ф(zi), вероятности попадания X на интервал (xi*,xi+1*) или Z на (zi,zi+1), а Ф(zi) - функция Лапласа ( ее значения определяются по справочным таблицам ).

Результаты вычислений сведены в табл. З.

4) Вычисляем эмпирическое значение ?2набл критерия Пирсона



и сравниваем его значение с критическим ?2кр значением, найденным по справочным таблицам "Критические точки распределения ?2" для уровня значимости ? = 0,05 и числу степеней свободы k = m - 3 = 5 - 3 = 2 (m –число интервалов) ?2кр(0,05;2) = 6,0.

Так как ?2набл < ?2кр, делаем вывод о том, что данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности. Нет оснований отвергнуть гипотезу H0.

15. Сформулировать нулевую гипотезу о величине генеральной средней (при неизвестной дисперсии) и проверить три альтернативные гипотезы для уровня значимости ? = 0,05.

Используем данные выборки и расчетов из предыдущего раздела (ряд в третьем столбце табл. Д).

В качестве нулевой (основной) гипотезы H0 примем предположение о том, что генеральная средняя a равна числу a0. Для определенности в качестве a0 возьмем полученное ранее выборочное среднее xв, округленное до ближайшего целого числа, кратного 5, т.е. a0 = 175.

Рассмотрим три варианта выбора альтернативной гипотезы Н1.

а) H1: генеральная средняя a не равна a0, т.е. a ? 175.

Вычислим по результатам выборки значение критерия Стьюдента T

0,0231.

По таблице «Критические точки распределения Стьюдента», по заданному уровню значимости ? = 0,05 и числу степеней свободы k = n – 1 = 20 – 1 = 19 находится двустороннее критическое значение T: Tдвустор.кр(?;k) = Tдвустор.кр(0,05;19) = 2,09. Так как при этом | Tвыб | = 0,023 < Tдвустор.кр = 2,09, то основная гипотеза принимается, а конкурирующая - отвергается.

б) H1: генеральная средняя a больше a0, т.е. a > 175.

По таблице «Критические точки распределения Стьюдента», по заданному уровню значимости ? = 0,05 и и числу степеней свободы

k = n – 1 = 20 - 1 = 19 находится одностороннее критическое значение T: Tправостор.кр( ?;k) = Tправостор.кр( 0,05;19) = 1,73. Так как при этом Tвыб = 0,023 < Tправостор.кр = 1,73, то основная гипотеза принимается, а конкурирующая – отвергается.

в) H1: генеральная средняя a меньше a0, те a < 175.

По таблице «Критические точки распределения Стьюдента», по заданному уровню значимости ? = 0,05 и числу степеней свободы k = n – 1 = 20 – 1 = 19 находится одностороннее критическое значение T: Tлевостор.кр( ?;k) = –Tодностор.кр( 0,05;19) = – 1,73. Так как при этом Tвыб = 0,023 > Tправостор.кр = – 1,73, то основная гипотеза принимается, а конкурирующая – отвергается.

Замечание. Пункты б) и в) дали тривиальные результаты потому, что ранее в пункте а) уже было показано, что на уровне значимости 0,05 любое предположение о неравенстве a ? 175 должно быть отвергнуто (в том числе и a < 175, и a > 175).

16. Сформулировать нулевую гипотезу о величине генеральной дисперсии и проверить три альтернативные гипотезы для уровня значимости ? = 0,05.

Используем данные выборки и расчетов из предыдущего раздела

(ряд в третьем столбце табл. Д).

В качестве нулевой (основной) гипотезы H0 примем предположение о том, что генеральная дисперсия ?2равна числу ?20. Для определенности в качестве ?20 возьмем полученную ранее выборочную исправленную дисперсию s2 , округленную до ближайшего целого числа, кратного 5, т.е. ?20 = 210.

Рассмотрим три варианта выбора альтернативной гипотезы Н1.

а) H1: генеральная дисперсия ?2 не равна ?20, т.е. ?2 ? 210.

Для проверки этой гипотезы по результатам выборки вычисляется значение критерия 19,04.

Затем по таблице «Критические точки распределения ?2», по заданному уровню значимости ? = 0,05 и числу степеней свободы k = n – 1 = 19 находятся левое критическое значение ?2лев.кр(1 – ?/2; k) = ?2лев.кр(0,975; 19) = 8,91 и правое критическое значение ?2прав.кр(?/2; k) = ?2прав.кр(0,025; 19) = 32,9. Так как при этом ?2лев.кр = 8,9 < ?2выб = 19,04 < ?2прав.кр = 32,9, основная гипотеза принимается, а конкурирующая – отвергается.

б) Пусть теперь H1: ?2 > ?02, те ?2 > 210. Для проверки этой гипотезы по результатам выборки вычисляется значение критерия ?2выб.= 18,9 (вычислено в пункте а). Затем по таблице «Критические точки распределения ?2», по заданному уровню значимости ? = 0,05 и числу степеней свободы k = n – 1 = 20 – 1 = 19 находится критическое значение ?2кр( ?;k) = ?2кр(0,05;19) = 30,1. В этом случае ?2выб = 19,14 < ?2кр = 30,1, следовательно, нет оснований отвергнуть основную гипотезу, конкурирующая – отклоняется.

в) Пусть теперь H1: ?2 < ?02. Для проверки этой гипотезы по результатам выборки вычисляется значение критерия (13) ?2выб. =19,04. Затем по таблице «Критические точки распределения ?2» по заданному уровню значимости ? = 0,05 и числу степеней свободы k = n – 1 = 19 находится критическое значение ?2кр( 1– ?;k) = ?2кр( 0,095;19) = 10,1.

Так как ?2выб = 19,04 > ?2кр = 10,1, то основная гипотеза принимается, а конкурирующая – отвергается.

Заключение

Литература.

В.Д. Фролов. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ для студентов и курсантов вторых курсов. (высшая математика), Химки – 2006 г.

Топчий В.А., Дворкин П.Л. Теория вероятности, ОФИМ СО РАН, 1999 г.

Соловьев А. А. Лекции по теории вероятностей и математической статистике, ЧелГУ, 2003 г.

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. Изд. 7, стер. – М.: Высш. шк., 2004.