Тема: Исследование движения механической системы

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра управления качеством и механики

Допускаю к защите «__________»

«Исследование движения механической системы»

Выполнил студент группыПояснительная записка к курсовой работе

по дисциплине

Теоретическая механика

Нормоконтроль:

Курсовая работа защищена с оценкой «_______»

Иркутск, 2012



СОДЕРЖАНИЕ

ЗАДАНИЕ К14

ЗАДАНИЕ К213

ЗАДАНИЕ Д119

ЗАДАНИЕ Д326

ЗАДАНИЕ Д529

ЗАДАНИЕ Д634

ЗАДАНИЕ Д836



ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

студенту группы

Вариант 78

Тело АВ в виде тонкого однородного стержня длинной
= 120 см и массой m1 = 12 кг движется так, что точка А скользит без трения вдоль вертикальной поверхности, а промежуточной точкой D опирается на выступ стены. На стержне находится материальная точка М массой m2 = 2,5 кг. Положение стержня определяется углом (, положение материальной точки - расстоянием АМ = S. Расстояние между стенами равно d = 40 см. В начальный момент времени стержень находился в покое и занимал горизонтальное положение.

Дата выдачи задания: 20 февраля 2012г.

Дата представления работы руководителю: __________2012г.

Руководитель работы:



ЗАДАНИЕ К1

Считая, что угол ( изменяется по закону ( = ((t), а расстояние S остается постоянным S = S1 = const:

составить уравнения движения точки М в декартовой системе координат x0y;

изобразить на рисунке траекторию движения точки М на промежутке времени от 0 до t ? 1,3· t1 сек.;

для момента времени t = t1 определить и показать положение точки М на траектории, вычислить скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории точки;

выполнить построения векторов скорости и ускорения точки М для t = t1 на рисунке.

Принять функцию ((t) =
и значения величин S1 = 0,34 и t1 = 2?/3

Указания. Задание К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки. Но, до использования всех этих формул, следует составить уравнения движения точки М в декартовой системе координат, для чего нужно найти зависимости координат “х” и “у” точки М от времени. При графических построениях обязательно указать масштабы, в которых на чертеже будет откладываться та или иная физическая величина.

Решение

1. Для составления уравнений движения точки М нужно выразить координаты
и
через угол ?, так как угол ? является функцией времени t.



= d - AM

=
.

Окончательно уравнения движения точки М в декартовой системе координат, после подстановки в них значения функции
, приобретают вид

= d - AM
,

=
.

2. Для построения траектории движения точки М можно применить два подхода:

- исключив из уравнений движения точки параметр t, найти уравнение траектории и, задавая числовые значения для одной координаты, находить значения другой;

- определять координаты движущейся точки придавая параметру t значения немного меньшие и большие заданного момента времени t1 (например, 0,5t1, 0,8t1, t1, 1,1t1, 1,3t1, 1,5t1, 2t1 и т.д.).

Исключение времени из полученных уравнений движения точки для данного случая затруднительно, поэтому применим второй подход: определим координаты движущейся точки в различные моменты времени.

t 0 0,5 t1 0,8 t1 t1 1,1t1 1,3t1 1,5t1   xM 6 10,6 17,3 23 26,2 32,9 40   yM 0 -6,1 -19,6 -39,84 -58,78 -154 -   

На рисунке в соответствии с расчетными данными изобразим траекторию точки, отметив на рисунке положение точки для заданного момента времени t =
.

3. Для вычисления скорости точки, движение которой задано координатным способом, используем формулу

,

где
,
проекции вектора скорости на оси координат.

=

=
см/с

=
-71.5см/с

см/с



Построим для данного момента времени вектор скорости точки в масштабе на рисунке.

Величина ускорения точки при задании ее движения координатным способом вычисляется по формуле

,

где
,
- проекции вектора ускорения точки на оси координат.



После подстановки всех известных данных получаем

=
см/с2

см/с2

=
см/с2.

По проекциям ах и ау построим вектор полного ускорения
на рисунке.

Вычислим проекции вектора ускорения на касательную

=
см/с2

и на главную нормаль

=
25,2см/с2.

Это позволяет с помощью формулы
найти радиус кривизны траектории точки в данный момент времени

210,9 см.

Ниже на рисунке для момента времени t = t1 показано положение точки М на траектории и выполнены построения векторов скорости и ускорения точки.



ЗАДАНИЕ К2

Полагая ? = ((t) и S = S1 = const и рассматривая движение стержня АВ как плоскопараллельное движение, для момента времени t = t1 определить:

скорости всех обозначенных на рисунке точек стержня АВ с помощью мгновенного центра скоростей (МЦС) и его угловую скорость.

ускорение точки М и угловое ускорение стержня АВ.

Воспользоваться данными таблицы К1.

Указания. Задание К2 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При его решении для определения скоростей точек тела следует использовать мгновенный центр скоростей (МЦС), для чего в масштабе построить механизм для момента времени t = t1, и определить положение МЦС. Расстояния от точек стержня АВ до МЦС можно определять с помощью измерений на чертеже, для этого чертеж должен быть нарисован в масштабе). При определении ускорения точки М следует воспользоваться формулой для вычисления вектора ускорения любой точки тела, совершающего плоскопараллельное движение и использовать графоаналитический метод расчета (построение в масштабе плана ускорений).

Решение

Построим механизм в масштабе для заданного момента времени (t =
, ( =
).



Мгновенный центр скоростей твердого тела находится в точке Р на рисунке.

Скорость точки А найдем методом рассмотренным в задании К1.

Величина скорости точки D стержня находится из соотношения

, откуда

Из



Определяем скорость точки М. Составляем пропорцию.

Из



Наблюдается полное совпадение данного результата с результатом полученным в задании К1.Величина скорости точки В находится из соотношения.

Из



Угловая скорость тела при его плоскопараллельном движении находится как отношение скорости любой точки тела к расстоянию до МЦС.

В соответствии с показанными на рисунке направлениями векторов скоростей точек, угловая скорость стержня
будет направлена по часовой стрелке.





Ускорение точки М определим ,раскладывая плоскопараллельное движение прямой АВ как поступательное вместе с полюсом А и вращательное движение точки М вместе с телом вокруг полюса.

Используем графоаналитический метод решения уравнения ,для чего будем вычислять величины ускорений и будем строить векторы ускорений на чертеже.

Знак минус говорит о том что вектор направлен вниз.

Величина
находится по формуле

Вектор
направлен от точки М к полюсу А.

Величина вектора
вращательной составляющей ускорения точки М во вращательном движении тела вокруг полюса А находится по формуле

, где
=0 ,следовательно,
= 0.

Получаем
.



На рисунке вектор
переносим в точку М, из конца этого вектора откладываем в масштабе вектор
, а вектор
находится как вектор, соединяющий точку М и конец вектора



Измерив длину вектора
на чертеже, с помощью масштаба получаем

аМ = 146 см/с2

Проверим результат, полученный с помощью измерений, вычислениями

,

,

=

Это подтверждает полученный ранее результат.



ЗАДАНИЕ Д1

В начальный момент времени t = 0 материальная точка М находилась в положении, определяемом координатой S1; ей сообщена начальная скорость V0, направленная к точке В. При движении вдоль стержня АВ материальная точка ударяется о преграду в точке В и, отскакивая от нее, начинает движение в обратном направлении. Считая удар о преграду абсолютно упругим (скорость точки до удара V1 равна по величине скорости точки после удара V2, а по направлению они противоположны, т.е.
), определить время, спустя которое, после начала движения, точка М (при движении вниз) будет совпадать с точкой А, а также скорость ее в этом положении. Коэффициент трения скольжения при движении материальной точки по стержню АВ равен f. Угол ( во все время движения считать постоянным и равным значению
, полученным в задании К1;

принять АВ = 120 см. Величины V0 = 5 м/с и f = 0,35

Решение

Задание Д1 относится ко второй (обратной) задаче динамики, решение которой осуществляется путем интегрирования дифференциальных уравнений движенияматериальной точки. Рассмотрим движение материальной точки вдоль стержня АВ вверх. Точка М совершает вдоль стержня прямолинейное движение, для его описания выберем ось х1, начало которой совместим с точкой А. Покажем силы действующие на материальную точку в ее произвольном положении на траектории: сила тяжести G, нормальная реакция N и сила трения Fтр.

Составим дифференциальное уравнение движения точки вдоль оси Ах (в левой части уравнения записывается произведение массы точки на вторую производную от выбранной координаты по времени, в правой части уравнения – сумма проекций сил на выбранную ось)



Выразим силы через массу точки и ускорение свободного падения

,
.

Для нахождения нормальной реакции N спроецируем силы на ось Ау1, а, так как вдоль этой оси движения не происходит, имеет место уравнение равновесия сил

, откуда
.

Подставив значения сил в дифференциальное уравнение движения, после сокращений, получаем

,

,

где С1 и С2 – постоянные интегрирования, которые находятся с помощью начальных условий. Время будем отсчитывать от нулевого значения, начиная с момента начала движения точки. Начальные условия имеют вид

,
м/с,
см = 0,34 м.

Подставляя начальные условия сначала в первый, а затем во второй интегралы, найдем
,
. Переписав первый (уравнение скорости) и второй (уравнение движения точки) интегралы с учетом найденных постоянных интегрирования, получим

,

,

Имея зависимость
, найдем время движения материальной точки от положения М0 до точки В (в этот момент времени координата х1 = MВ = 84 см = 0,84 м). Для нахождения t решаем квадратное уравнение
, которое имеет два положительных, действительных корня

=
;
с,
с. 

В качестве искомой величины выбираем время
с, так как анализ рассматриваемого физического процесса позволяет сделать вывод о том, что время
с – это время, за которое материальная точка М, двигаясь вдоль прямой АВ (не заканчивающейся в точке В), достигает наивысшего положения, а затем под действием силы тяжести начинает движение вниз и, двигаясь вниз, оказывается в точке В.

Подставив в уравнение скорости время
с, найдем скорость материальной точки при ударе о преграду В

= 2,73 м/с,

В соответствии с условием задания найденная скорость
= 2,73 м/с должна быть принята в качестве начальной скорости для движения точки вниз.

Переходим к рассмотрению движения материальной точки после удара о преграду в точке В вниз. Выполним рисунок, на котором покажем ось х2, направленную из точки В вниз. Изобразим действующие на материальную точку силы.



Составим дифференциальное уравнение движения точки

,

откуда после преобразований получим

.

Первый и второй интегралы от данного дифференциального уравнения имеют соответственно вид

,

,

где С3 и С4 – постоянные интегрирования. Время будем отсчитывать от нулевого значения с момента начала движения мат. точки от ее начального положения в точке В. Начальные условия имеют вид

,
м/с,
.

Подставляя начальные условия сначала в первый, а затем во второй интегралы, найдем, что
,
. Переписав первый (уравнение скорости) и второй (уравнение движения точки) интегралы, с учетом найденных постоянных интегрирования, получим

,

.

Подставляя начальные условия сначала в первый, а затем во второй интегралы, найдем, что
,
. Переписав первый (уравнение скорости) и второй (уравнение движения точки) интегралы, с учетом найденных постоянных интегрирования, получим

,

.



Найдем время движения материальной точки от положения В до А (в этот момент времени координата х2 = АВ = 120 см = 1,2 м). При решении квадратного уравнения
также имеем два корня

=
;
с,
< 0,

но так как время отрицательным (t < 0) быть не может, то корень
< 0, не рассматриваем.

Подставив в уравнение скорости время
с, найдем скорость материальной точки М в тот момент времени, когда она займет на стержне положение совпадающее с точкой А

= 4,85 м/с.

Общее время движения точки
= 0,222+0,315 = 0,537 с

ЗАДАНИЕ Д3

Подтвердить результаты, полученные в задании Д1, с помощью общих теорем динамики материальной точки.

Указания. В задании Д3 следует применить общие теоремы динамики материальной точки: теорему об изменении количества движения и теорему об изменении кинетической энергии.

Решение

Для изучения движения материальной точки на участке М0В воспользуемся сначала теоремой об изменении кинетической энергии материальной точки

,

где
- работа приложенных к движущейся точке сил, начальная скорость V0 = 4,4 м/с.



Для подсчета работы сил, на рисунке покажем действующие на точку на участке М0В силы

=
=

Подставляя в выражение теоремы найденные величины, определим скорость в точке В

=
= 2,72 м/с.

Зная скорость
с помощью теоремы об изменении количества движения материальной точки

,

можно определить время движения точки вверх на участке М0В. Запишем выражение теоремы в проекции на ось х

,

здесь
- сумма проекций на ось Ах импульсов сил, действующих на движущуюся точку.

=
,



Подставляя в выражение теоремы найденные величины, определим время

=
= 0,222 с.

Теперь рассмотрим движение материальной точки после удара о преграду вниз.

Ее скорость в точке А найдем с помощью теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки

.

Вычислим работу действующих на материальную точку М сил на участке ВА

=
=
.

Подставляя в выражение теоремы найденные величины, определим скорость в точке А

= 4,87 м/с.



Зная скорость
с помощью теоремы об изменении количества движения материальной точки в проекции на ось Вх2 можно определить время движения точки вниз на участке ВА

,

здесь
- сумма импульсов сил, действующих на движущуюся точку

=
=
.

Подставляя в выражение теоремы найденные величины, найдем время
движения точки вниз на участке ВА

=
= 0315 c.

Общее время движения точки
= 0,222 + 0,315 = 0,537 с.

Полученные с помощью общих теорем динамики материальной точки результаты, полностью совпадают с результатами в задании Д1

ЗАДАНИЕ Д5

Считать, что движение системы начинается из начального положения с ничтожно малой начальной скоростью под действием приложенного к стержню АВ постоянного по величине и направлению крутящего момента Мкр, который направлен так, что способствует увеличению угла (. Полагая, что S = S1 = const, получить буквенное выражение угловой скорости (АВ стержня АВ в том положении, при котором угол ( ( (1. Значения величин S1 и
взять из задания К1.

Указания. Для решения применить теорему об изменении кинетической энергии.



Решение

Запишем теорему об изменении кинетической энергии механической системы

Т2 – Т1=
,

здесь обозначено Т1 и Т2 - кинетические энергии системы соответственно в начальном и конечном положениях,
и
- суммы работ внешних и внутренних сил на рассматриваемом перемещении механической системы.

Кинетическая энергия системы в начальном положении равна нулю, так как в этом положении система находилась в покое (Т1= 0). Кинетическая энергия механической системы в конечном (произвольном, определяемом углом ?) положении определяется суммой кинетических энергий стержня АВ и материальной точки М, кинетическая энергия кривошипа не учитывается (равна нулю), так как массой кривошипа по условию задания следует пренебречь.

Т2 = ТАВ + ТМ.

Стержень совершает плоскопараллельное движение, формула для вычисления кинетической энергии имеет вид

ТАВ =
+
, 

где
– скорость центра масс стержня,
– момент инерции стержня относительно оси проходящей через его центр масс. Так как нужно получить буквенное выражение зависимости скорости
от
и
, то сначала, как в задании К1, составим уравнения движения точки С1, а затем найдем ее скорость.



Для вычисления квадрата скорости точки С1 при координатном способе задания движения используют формулу

,

где -
,
проекции вектора скорости на оси координат

=
,

=
.

Тогда

=
=

Выражение угловой скорости стержня получено ранее (в задании К2)
.

Момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси проходящей через центр масс С1 стержня находится по формуле

, где
= АВ.

Подставляя найденные выражения в формулу кинетической энергии стержня, получаем

ТАВ =
+
.



Формула кинетической энергии для материальной точки М имеет вид
.

Выражение квадрата скорости точки М (
) получим, используя найденные в задании К1 проекции скорости точки на оси координат

=
,

.

Тогда

=
+

Подставляя найденные выражения в формулу кинетической энергии точки, получаем

ТМ =
.

Выражение кинетической энергии всей системы в конечном положении имеет вид

Т2 =



Вычислим сумму работ внешних сил действующих на механическую систему. Для этого на рисунке покажем внешние воздействия, к числу которых относятся силы тяжести
, реакции внешних связей

и
.

Найдем работу каждой из сил в отдельности. Работы сил тяжести
на заданном перемещении отрицательны

=
,

=

Работы сил реакций связей в точкe О равны нулю, так как все эти силы приложены в неподвижных точках (перемещения точек приложения сил равны нулю).

Работа крутящего момента Мкр положительна и вычисляется по формуле
.

Выражение суммы работ внешних сил имеет вид

=
.

Определим сумму работ внутренних сил механической системы.

= 0 (трением мы пренебрегаем, систему образуют абсолютно твердые тела).

После подстановки найденных выражений в формулу теоремы об изменении кинетической энергии и вынося
, получим



=

=
.

откуда

ЗАДАНИЕ Д6

Считая, что при значениях S1 и
, взятых из задания К1, система находится в положении равновесия, получить буквенные выражения необходимых для этого величины приложенного к стержню АВ уравновешивающего момента сил Мур .

Указания. Для решения применить принцип возможных перемещений.

Решение

Изобразим систему в заданном положении S = S1 = 0,34 м и
= 600, и покажем действующие силы тяжести стержня G1 и материальной точки G2, а также уравновешивающий момента сил Мур, приложенную к стержню. Реакции идеальных связей в точках О, C показывать не будем.



Запишем принцип возможных перемещений для системы с неидеальными связями

.

Зададим системе возможное перемещение ?( и вычислим, в соответствии с принципом возможных перемещений, сумму возможных работ обозначенных на рисунке сил

.

Выразим возможные перемещения ?h1, ?h2 и ??АВ через ?(.

Возможное перемещение ??АВ стержня АВ равно ??.

Величину
можно найти как полный дифференциал функции
, вычисленный при фиксированном времени (
). Зависимость
найдена в задании Д5

=

Величину
можно найти как полный дифференциал функции yМ (?), вычисленный при фиксированном времени (
). Зависимость yМ (?) найдена в задании К1.



=

тогда
=.

Подставив найденные выражения возможных перемещений в уравнение принципа возможных перемещений, получим

После сокращения на
, найдем величину уравновешивающий момент, который сможет обеспечить равновесие системы в заданном положении.

ЗАДАНИЕ Д8

Полагая S = S1 = const (значение S1 взять из таблицы К1), получить дифференциальное уравнение движения механической системы и определить угловое ускорение ( стержня АВ. Считать, что к стержню АВ приложен крутящий момент Мкр = 100 Н•м, который направлен так, что он способствует увеличению угла (.

Указания. Для составления дифференциального уравнения движения применить уравнение Лагранжа II рода.



Решение

Для рассматриваемой механической системы с одной степенью свободы при использовании обобщенной координаты ( уравнение Лагранжа второго рода записывается следующим образом

?
,

где Т – кинетическая энергия механической системы, Q? – обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате ( . Кинетическая энергия системы вычисляется как сумма кинетических энергий всех входящих в систему тел: стержня АВ и материальной точки М

Т = ТАВ + ТМ.

Выражение кинетической энергии рассматриваемой системы уже составлено ранее в задании Д5, оно имеет вид

Т2 =

Вынося
за скобки получаем

Выполним с кинетической энергией Т действия, указанные в уравнении Лагранжа второго рода.

Обобщенная сила находятся по формуле

=
,

где
- обобщенная координата,
- сумма возможных работ действующих на точки системы активных сил и реакций связей. Обозначим на рисунке активные силы, а так как связи, наложенные на точки системы, являются идеальными, то реакции связей не показываем.

Для вычисления обобщенной силы
соответствующей координате (, зададим системе возможное перемещение
.



Найдем сумму элементарных работ действующих на систему сил на этом возможном перемещении

=
.

Возможные перемещения
и
были найдены ранее в задании Д6

=

=.

Возможное угловое перемещение
стержня АВ равно

Подставив выражения возможных перемещений в сумму возможных работ сил, имеем.

=

откуда, после сокращения на
, получим выражение обобщенной силы, соответствующей координате (.

=

Подставляя найденные выражения в уравнения Лагранжа второго рода, после преобразований и сокращений получаем дифференциальное уравнение движения системы

+
=

После подстановки заданных числовых значений параметров, позволяет записать дифференциальное уравнение механической системы

+
=

После подстановки заданных числовых значений параметров, позволяет записать окончательный вид дифференциального уравнения механической системы

+
=

и получить выражение углового ускорения стержня