">
Прикладные науки ![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Похожие работы:
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра управления качеством и механики Допускаю к защите «__________» «Исследование движения механической системы» Выполнил студент группыПояснительная записка к курсовой работе по дисциплине Теоретическая механика Нормоконтроль: Курсовая работа защищена с оценкой «_______» Иркутск, 2012 СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЕ К14 ЗАДАНИЕ К213 ЗАДАНИЕ Д119 ЗАДАНИЕ Д326 ЗАДАНИЕ Д529 ЗАДАНИЕ Д634 ЗАДАНИЕ Д836 ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ студенту группы Вариант 78 Тело АВ в виде тонкого однородного стержня длинной = 120 см и массой m1 = 12 кг движется так, что точка А скользит без трения вдоль вертикальной поверхности, а промежуточной точкой D опирается на выступ стены. На стержне находится материальная точка М массой m2 = 2,5 кг. Положение стержня определяется углом (, положение материальной точки - расстоянием АМ = S. Расстояние между стенами равно d = 40 см. В начальный момент времени стержень находился в покое и занимал горизонтальное положение. Дата выдачи задания: 20 февраля 2012г. Дата представления работы руководителю: __________2012г. Руководитель работы: ЗАДАНИЕ К1 Считая, что угол ( изменяется по закону ( = ((t), а расстояние S остается постоянным S = S1 = const: составить уравнения движения точки М в декартовой системе координат x0y; изобразить на рисунке траекторию движения точки М на промежутке времени от 0 до t ? 1,3· t1 сек.; для момента времени t = t1 определить и показать положение точки М на траектории, вычислить скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории точки; выполнить построения векторов скорости и ускорения точки М для t = t1 на рисунке. Принять функцию ((t) = и значения величин S1 = 0,34 и t1 = 2?/3 Указания. Задание К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки. Но, до использования всех этих формул, следует составить уравнения движения точки М в декартовой системе координат, для чего нужно найти зависимости координат “х” и “у” точки М от времени. При графических построениях обязательно указать масштабы, в которых на чертеже будет откладываться та или иная физическая величина. Решение 1. Для составления уравнений движения точки М нужно выразить координаты и через угол ?, так как угол ? является функцией времени t. = d - AM =. Окончательно уравнения движения точки М в декартовой системе координат, после подстановки в них значения функции , приобретают вид = d - AM, =. 2. Для построения траектории движения точки М можно применить два подхода: - исключив из уравнений движения точки параметр t, найти уравнение траектории и, задавая числовые значения для одной координаты, находить значения другой; - определять координаты движущейся точки придавая параметру t значения немного меньшие и большие заданного момента времени t1 (например, 0,5t1, 0,8t1, t1, 1,1t1, 1,3t1, 1,5t1, 2t1 и т.д.). Исключение времени из полученных уравнений движения точки для данного случая затруднительно, поэтому применим второй подход: определим координаты движущейся точки в различные моменты времени. t 0 0,5 t1 0,8 t1 t1 1,1t1 1,3t1 1,5t1 xM 6 10,6 17,3 23 26,2 32,9 40 yM 0 -6,1 -19,6 -39,84 -58,78 -154 - На рисунке в соответствии с расчетными данными изобразим траекторию точки, отметив на рисунке положение точки для заданного момента времени t = . 3. Для вычисления скорости точки, движение которой задано координатным способом, используем формулу , где , проекции вектора скорости на оси координат. = = см/с =-71.5см/с см/с Построим для данного момента времени вектор скорости точки в масштабе на рисунке. Величина ускорения точки при задании ее движения координатным способом вычисляется по формуле , где , - проекции вектора ускорения точки на оси координат. После подстановки всех известных данных получаем = см/с2 см/с2 = см/с2. По проекциям ах и ау построим вектор полного ускорения на рисунке. Вычислим проекции вектора ускорения на касательную = см/с2 и на главную нормаль = 25,2см/с2. Это позволяет с помощью формулы найти радиус кривизны траектории точки в данный момент времени 210,9 см. Ниже на рисунке для момента времени t = t1 показано положение точки М на траектории и выполнены построения векторов скорости и ускорения точки. ЗАДАНИЕ К2 Полагая ? = ((t) и S = S1 = const и рассматривая движение стержня АВ как плоскопараллельное движение, для момента времени t = t1 определить: скорости всех обозначенных на рисунке точек стержня АВ с помощью мгновенного центра скоростей (МЦС) и его угловую скорость. ускорение точки М и угловое ускорение стержня АВ. Воспользоваться данными таблицы К1. Указания. Задание К2 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При его решении для определения скоростей точек тела следует использовать мгновенный центр скоростей (МЦС), для чего в масштабе построить механизм для момента времени t = t1, и определить положение МЦС. Расстояния от точек стержня АВ до МЦС можно определять с помощью измерений на чертеже, для этого чертеж должен быть нарисован в масштабе). При определении ускорения точки М следует воспользоваться формулой для вычисления вектора ускорения любой точки тела, совершающего плоскопараллельное движение и использовать графоаналитический метод расчета (построение в масштабе плана ускорений). Решение Построим механизм в масштабе для заданного момента времени (t = , ( = ). Мгновенный центр скоростей твердого тела находится в точке Р на рисунке. Скорость точки А найдем методом рассмотренным в задании К1. Величина скорости точки D стержня находится из соотношения , откуда Из Определяем скорость точки М. Составляем пропорцию. Из Наблюдается полное совпадение данного результата с результатом полученным в задании К1.Величина скорости точки В находится из соотношения. Из Угловая скорость тела при его плоскопараллельном движении находится как отношение скорости любой точки тела к расстоянию до МЦС. В соответствии с показанными на рисунке направлениями векторов скоростей точек, угловая скорость стержня будет направлена по часовой стрелке. Ускорение точки М определим ,раскладывая плоскопараллельное движение прямой АВ как поступательное вместе с полюсом А и вращательное движение точки М вместе с телом вокруг полюса. Используем графоаналитический метод решения уравнения ,для чего будем вычислять величины ускорений и будем строить векторы ускорений на чертеже. Знак минус говорит о том что вектор направлен вниз. Величина находится по формуле Вектор направлен от точки М к полюсу А. Величина вектора вращательной составляющей ускорения точки М во вращательном движении тела вокруг полюса А находится по формуле , где =0 ,следовательно, = 0. Получаем . На рисунке вектор переносим в точку М, из конца этого вектора откладываем в масштабе вектор , а вектор находится как вектор, соединяющий точку М и конец вектора Измерив длину вектора на чертеже, с помощью масштаба получаем аМ = 146 см/с2 Проверим результат, полученный с помощью измерений, вычислениями , , = Это подтверждает полученный ранее результат. ЗАДАНИЕ Д1 В начальный момент времени t = 0 материальная точка М находилась в положении, определяемом координатой S1; ей сообщена начальная скорость V0, направленная к точке В. При движении вдоль стержня АВ материальная точка ударяется о преграду в точке В и, отскакивая от нее, начинает движение в обратном направлении. Считая удар о преграду абсолютно упругим (скорость точки до удара V1 равна по величине скорости точки после удара V2, а по направлению они противоположны, т.е. ), определить время, спустя которое, после начала движения, точка М (при движении вниз) будет совпадать с точкой А, а также скорость ее в этом положении. Коэффициент трения скольжения при движении материальной точки по стержню АВ равен f. Угол ( во все время движения считать постоянным и равным значению , полученным в задании К1; принять АВ = 120 см. Величины V0 = 5 м/с и f = 0,35 Решение Задание Д1 относится ко второй (обратной) задаче динамики, решение которой осуществляется путем интегрирования дифференциальных уравнений движенияматериальной точки. Рассмотрим движение материальной точки вдоль стержня АВ вверх. Точка М совершает вдоль стержня прямолинейное движение, для его описания выберем ось х1, начало которой совместим с точкой А. Покажем силы действующие на материальную точку в ее произвольном положении на траектории: сила тяжести G, нормальная реакция N и сила трения Fтр. Составим дифференциальное уравнение движения точки вдоль оси Ах (в левой части уравнения записывается произведение массы точки на вторую производную от выбранной координаты по времени, в правой части уравнения – сумма проекций сил на выбранную ось) Выразим силы через массу точки и ускорение свободного падения , . Для нахождения нормальной реакции N спроецируем силы на ось Ау1, а, так как вдоль этой оси движения не происходит, имеет место уравнение равновесия сил , откуда . Подставив значения сил в дифференциальное уравнение движения, после сокращений, получаем , , где С1 и С2 – постоянные интегрирования, которые находятся с помощью начальных условий. Время будем отсчитывать от нулевого значения, начиная с момента начала движения точки. Начальные условия имеют вид , м/с, см = 0,34 м. Подставляя начальные условия сначала в первый, а затем во второй интегралы, найдем , . Переписав первый (уравнение скорости) и второй (уравнение движения точки) интегралы с учетом найденных постоянных интегрирования, получим , , Имея зависимость , найдем время движения материальной точки от положения М0 до точки В (в этот момент времени координата х1 = MВ = 84 см = 0,84 м). Для нахождения t решаем квадратное уравнение , которое имеет два положительных, действительных корня = ; с, с. В качестве искомой величины выбираем время с, так как анализ рассматриваемого физического процесса позволяет сделать вывод о том, что время с – это время, за которое материальная точка М, двигаясь вдоль прямой АВ (не заканчивающейся в точке В), достигает наивысшего положения, а затем под действием силы тяжести начинает движение вниз и, двигаясь вниз, оказывается в точке В. Подставив в уравнение скорости время с, найдем скорость материальной точки при ударе о преграду В = 2,73 м/с, В соответствии с условием задания найденная скорость = 2,73 м/с должна быть принята в качестве начальной скорости для движения точки вниз. Переходим к рассмотрению движения материальной точки после удара о преграду в точке В вниз. Выполним рисунок, на котором покажем ось х2, направленную из точки В вниз. Изобразим действующие на материальную точку силы. Составим дифференциальное уравнение движения точки , откуда после преобразований получим . Первый и второй интегралы от данного дифференциального уравнения имеют соответственно вид , , где С3 и С4 – постоянные интегрирования. Время будем отсчитывать от нулевого значения с момента начала движения мат. точки от ее начального положения в точке В. Начальные условия имеют вид , м/с, . Подставляя начальные условия сначала в первый, а затем во второй интегралы, найдем, что , . Переписав первый (уравнение скорости) и второй (уравнение движения точки) интегралы, с учетом найденных постоянных интегрирования, получим , . Подставляя начальные условия сначала в первый, а затем во второй интегралы, найдем, что , . Переписав первый (уравнение скорости) и второй (уравнение движения точки) интегралы, с учетом найденных постоянных интегрирования, получим , . Найдем время движения материальной точки от положения В до А (в этот момент времени координата х2 = АВ = 120 см = 1,2 м). При решении квадратного уравнения также имеем два корня = ; с, < 0, но так как время отрицательным (t < 0) быть не может, то корень < 0, не рассматриваем. Подставив в уравнение скорости время с, найдем скорость материальной точки М в тот момент времени, когда она займет на стержне положение совпадающее с точкой А = 4,85 м/с. Общее время движения точки = 0,222+0,315 = 0,537 с ЗАДАНИЕ Д3 Подтвердить результаты, полученные в задании Д1, с помощью общих теорем динамики материальной точки. Указания. В задании Д3 следует применить общие теоремы динамики материальной точки: теорему об изменении количества движения и теорему об изменении кинетической энергии. Решение Для изучения движения материальной точки на участке М0В воспользуемся сначала теоремой об изменении кинетической энергии материальной точки , где - работа приложенных к движущейся точке сил, начальная скорость V0 = 4,4 м/с. Для подсчета работы сил, на рисунке покажем действующие на точку на участке М0В силы = = Подставляя в выражение теоремы найденные величины, определим скорость в точке В = = 2,72 м/с. Зная скорость с помощью теоремы об изменении количества движения материальной точки , можно определить время движения точки вверх на участке М0В. Запишем выражение теоремы в проекции на ось х , здесь - сумма проекций на ось Ах импульсов сил, действующих на движущуюся точку. = , Подставляя в выражение теоремы найденные величины, определим время = = 0,222 с. Теперь рассмотрим движение материальной точки после удара о преграду вниз. Ее скорость в точке А найдем с помощью теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки . Вычислим работу действующих на материальную точку М сил на участке ВА = = . Подставляя в выражение теоремы найденные величины, определим скорость в точке А = 4,87 м/с. Зная скорость с помощью теоремы об изменении количества движения материальной точки в проекции на ось Вх2 можно определить время движения точки вниз на участке ВА , здесь - сумма импульсов сил, действующих на движущуюся точку = = . Подставляя в выражение теоремы найденные величины, найдем время движения точки вниз на участке ВА = = 0315 c. Общее время движения точки = 0,222 + 0,315 = 0,537 с. Полученные с помощью общих теорем динамики материальной точки результаты, полностью совпадают с результатами в задании Д1 ЗАДАНИЕ Д5 Считать, что движение системы начинается из начального положения с ничтожно малой начальной скоростью под действием приложенного к стержню АВ постоянного по величине и направлению крутящего момента Мкр, который направлен так, что способствует увеличению угла (. Полагая, что S = S1 = const, получить буквенное выражение угловой скорости (АВ стержня АВ в том положении, при котором угол ( ( (1. Значения величин S1 и взять из задания К1. Указания. Для решения применить теорему об изменении кинетической энергии. Решение Запишем теорему об изменении кинетической энергии механической системы Т2 – Т1= , здесь обозначено Т1 и Т2 - кинетические энергии системы соответственно в начальном и конечном положениях, и - суммы работ внешних и внутренних сил на рассматриваемом перемещении механической системы. Кинетическая энергия системы в начальном положении равна нулю, так как в этом положении система находилась в покое (Т1= 0). Кинетическая энергия механической системы в конечном (произвольном, определяемом углом ?) положении определяется суммой кинетических энергий стержня АВ и материальной точки М, кинетическая энергия кривошипа не учитывается (равна нулю), так как массой кривошипа по условию задания следует пренебречь. Т2 = ТАВ + ТМ. Стержень совершает плоскопараллельное движение, формула для вычисления кинетической энергии имеет вид ТАВ = +, где – скорость центра масс стержня, – момент инерции стержня относительно оси проходящей через его центр масс. Так как нужно получить буквенное выражение зависимости скорости от и , то сначала, как в задании К1, составим уравнения движения точки С1, а затем найдем ее скорость. Для вычисления квадрата скорости точки С1 при координатном способе задания движения используют формулу , где - , проекции вектора скорости на оси координат = , =. Тогда == Выражение угловой скорости стержня получено ранее (в задании К2) . Момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси проходящей через центр масс С1 стержня находится по формуле , где = АВ. Подставляя найденные выражения в формулу кинетической энергии стержня, получаем ТАВ = +. Формула кинетической энергии для материальной точки М имеет вид . Выражение квадрата скорости точки М () получим, используя найденные в задании К1 проекции скорости точки на оси координат = , . Тогда = + Подставляя найденные выражения в формулу кинетической энергии точки, получаем ТМ = . Выражение кинетической энергии всей системы в конечном положении имеет вид Т2 = Вычислим сумму работ внешних сил действующих на механическую систему. Для этого на рисунке покажем внешние воздействия, к числу которых относятся силы тяжести , реакции внешних связей и . Найдем работу каждой из сил в отдельности. Работы сил тяжести на заданном перемещении отрицательны = , = Работы сил реакций связей в точкe О равны нулю, так как все эти силы приложены в неподвижных точках (перемещения точек приложения сил равны нулю). Работа крутящего момента Мкр положительна и вычисляется по формуле . Выражение суммы работ внешних сил имеет вид = . Определим сумму работ внутренних сил механической системы. = 0 (трением мы пренебрегаем, систему образуют абсолютно твердые тела). После подстановки найденных выражений в формулу теоремы об изменении кинетической энергии и вынося , получим = = . откуда ЗАДАНИЕ Д6 Считая, что при значениях S1 и , взятых из задания К1, система находится в положении равновесия, получить буквенные выражения необходимых для этого величины приложенного к стержню АВ уравновешивающего момента сил Мур . Указания. Для решения применить принцип возможных перемещений. Решение Изобразим систему в заданном положении S = S1 = 0,34 м и = 600, и покажем действующие силы тяжести стержня G1 и материальной точки G2, а также уравновешивающий момента сил Мур, приложенную к стержню. Реакции идеальных связей в точках О, C показывать не будем. Запишем принцип возможных перемещений для системы с неидеальными связями . Зададим системе возможное перемещение ?( и вычислим, в соответствии с принципом возможных перемещений, сумму возможных работ обозначенных на рисунке сил . Выразим возможные перемещения ?h1, ?h2 и ??АВ через ?(. Возможное перемещение ??АВ стержня АВ равно ??. Величину можно найти как полный дифференциал функции , вычисленный при фиксированном времени (). Зависимость найдена в задании Д5 = Величину можно найти как полный дифференциал функции yМ (?), вычисленный при фиксированном времени (). Зависимость yМ (?) найдена в задании К1. = тогда =. Подставив найденные выражения возможных перемещений в уравнение принципа возможных перемещений, получим После сокращения на , найдем величину уравновешивающий момент, который сможет обеспечить равновесие системы в заданном положении. ЗАДАНИЕ Д8 Полагая S = S1 = const (значение S1 взять из таблицы К1), получить дифференциальное уравнение движения механической системы и определить угловое ускорение ( стержня АВ. Считать, что к стержню АВ приложен крутящий момент Мкр = 100 Н•м, который направлен так, что он способствует увеличению угла (. Указания. Для составления дифференциального уравнения движения применить уравнение Лагранжа II рода. Решение Для рассматриваемой механической системы с одной степенью свободы при использовании обобщенной координаты ( уравнение Лагранжа второго рода записывается следующим образом ? , где Т – кинетическая энергия механической системы, Q? – обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате ( . Кинетическая энергия системы вычисляется как сумма кинетических энергий всех входящих в систему тел: стержня АВ и материальной точки М Т = ТАВ + ТМ. Выражение кинетической энергии рассматриваемой системы уже составлено ранее в задании Д5, оно имеет вид Т2 = Вынося за скобки получаем Выполним с кинетической энергией Т действия, указанные в уравнении Лагранжа второго рода. Обобщенная сила находятся по формуле = , где - обобщенная координата, - сумма возможных работ действующих на точки системы активных сил и реакций связей. Обозначим на рисунке активные силы, а так как связи, наложенные на точки системы, являются идеальными, то реакции связей не показываем. Для вычисления обобщенной силы соответствующей координате (, зададим системе возможное перемещение . Найдем сумму элементарных работ действующих на систему сил на этом возможном перемещении = . Возможные перемещения и были найдены ранее в задании Д6 = =. Возможное угловое перемещение стержня АВ равно Подставив выражения возможных перемещений в сумму возможных работ сил, имеем. = откуда, после сокращения на , получим выражение обобщенной силы, соответствующей координате (. = Подставляя найденные выражения в уравнения Лагранжа второго рода, после преобразований и сокращений получаем дифференциальное уравнение движения системы + = После подстановки заданных числовых значений параметров, позволяет записать дифференциальное уравнение механической системы + = После подстановки заданных числовых значений параметров, позволяет записать окончательный вид дифференциального уравнения механической системы + = и получить выражение углового ускорения стержня |
© 2010–2021 Эссе.рф: Библиотека учебных материалов |