">
Физика Теоретическая физика
Информация о работе

Тема: Построение траектории движения тела вблизи нескольких источников гравитационных полей

Описание: Суть гравитационных сил, т.е. сил притяжения между телами. Отслеживание изменения траектории движения тел. Для расчета будем пользоваться дифференциальным уравнением и одними из основных формул механики. Все тела действуют с гравитационной силой друг на друга.
Предмет: Физика.
Дисциплина: Теоретическая физика.
Тип: Методические рекомендации
Дата: 31.08.2012 г.
Язык: Русский
Скачиваний: 5
Поднять уникальность

Похожие работы:

ЗАДАНИЕ

на курсовую работу

1. Тема: Построение траектории движения тела вблизи нескольких источников гравитационных полей

Утверждена приказом от «_____» ______________ 20___ г. № _________

2. Срок представления работы к защите «___»_______________20__ г.

3. Содержание расчетно-пояснительной записки: Введение. Постановка задач. Рассмотрение теоретических методов решения поставленной задачи. Построение и реализация алгоритма численного решения. Результаты вычисления возмущенного движения нескольких тел. Заключение.

4. Перечень графического материала: ____________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Дата выдачи задания «_____» ____________________20 ___ г.

Руководитель работы (проекта)_______________________ __________________

подпись, дата инициалы и фамилия

Задание принял к исполнению________________________ __________________

подпись, дата инициалы и фамилия

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе

по дисциплине Вычислительная физика

на тему Построение траектории движения тела вблизи нескольких источников гравитационных полей

Руководитель работы ___________________________

(подпись и дата подписания)

Члены комиссии:

_____________________ ____________________________

(подпись и дата подписания) (инициалы и фамилия)

_____________________ ____________________________

(подпись и дата подписания) (инициалы и фамилия)

_____________________ ____________________________

(подпись и дата подписания) (инициалы и фамилия)

Нормоконтролер ______________________________ _____________________________

(подпись, дата подписания) (инициалы и фамилия)

2012 г.

Аннотация

В данной теме раскрывается суть гравитационных сил, т.е. сил притяжения между телами. Целью работы является отслеживание изменения траектории движения тел в поле гравитационных сил. Для расчета будем пользоваться дифференциальным уравнением и одними из основных формул механики. При расчете сил необходимо учитывать все то, что все тела действуют с гравитационной силой друг на друга, стараясь притянуться. С помощью программы, написанной на языке С, можно вести расчет движения тел, вплоть, до нашей солнечной системы.

гравитация, гравитационная сила, гравитационная постоянная, центр масс, движение в поле гравитационных сил, моделирование, решения дифференциальных уравнений методом Эйлера.

Содержание

Введение…………………………………………………………………..…………5

1 Понятие гравитации и гравитационной силы…………………………….......…6

2 Вычисление траектории движения тел в гравитационном поле….....…………7

3 Полная энергия системы…………………………………………….……………9

4 Движение центра масс системы……………………………………………...…10

5 Система тел…………………………………………………………………….…10

6 Результаты решения поставленной задачи…………………….…………….…11

Заключение………………………………………………………………………....18

Список используемой литературы……………………………………………..…19

Приложение A Листинг программы …………………………………………..…20

Введение

Исследование гравитационных сил проводится человечеством уже не первый век. Это очень интересный процесс. Процесс на котором держится вся Вселенная от мельчайших частиц до огромных планет. К тому же, тема эта актуальна в наше время, т.к. благодаря ей можно заранее получать предупреждения о приближении небесных тел и пытаться предотвращать катастрофы космического характера, рассчитывать траектории полетов спутников и т.п. К тому же, не за горами и эра освоения космоса.

Для проведения работы мною были написана программа и проанализированы начальные и конечные данные, возникающие погрешности.

1 Понятие гравитации и гравитационной силы

Гравитация  (притяжение, всемирное тяготение, тяготение)(от латинского gravitas – «тяжесть») - универсальное фундаментальное взаимодействие между всеми материальными телами.

Гравитационное поле, так же как и поле силы тяжести, потенциально. Это значит, что можно ввести потенциальную энергию гравитационного притяжения пары тел, и эта энергия не изменится после перемещения тел по замкнутому контуру. Потенциальность гравитационного поля влечёт за собой закон сохранения суммы кинетической и потенциальной энергии и при изучении движения тел в гравитационном поле часто существенно упрощает решение. В рамках классической механики гравитационное взаимодействие является дальнодействующим. Это означает, что как бы массивное тело ни двигалось, в любой точке пространства гравитационный потенциал зависит только от положения тела в данный момент времени.

Большие космические объекты — планеты, звезды и галактики имеют огромную массу и, следовательно, создают значительные гравитационные поля.

Гравитация — слабейшее взаимодействие. Однако, поскольку оно действует на любых расстояниях, и все массы положительны, это, тем не менее, очень важная сила во Вселенной.

Сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками массы  и , разделёнными расстоянием , пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния

В рамках классической механики  гравитационное взаимодействие описывается законом всемирного тяготения, который гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками массы  и , разделёнными расстоянием , пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния — то есть:



где G – гравитационная постоянная, равная  6,6725?10-11 м?/(кг·с?), F – модуль гравитационной силы (силы тяготения) (рисунок 1).

Гравитационной постоянной называют коэффициент, численно равный модулю силы тяготения, действующей на точечное тело единичной массы со стороны другого такого же тела, находящегося от него на единичном расстоянии.

2 Вычисление траектории движения тел в гравитационном поле

Рассмотрим систему, состоящую из некоторого количества тел (в нашем случае космических). Каждое тело действует на другое с силой, и соответственно на каждое тело действует сумма сил, со стороны остальных тел. Будем считать что в нашей системе посторонних сил нет. Распишем уравнение 1 в виде дифференциального:



Где S – пройденный путь , t – время. Надо не забывать и про то, куда направлена сила, для этого правую часть умножим на  и разделим на |R|. Заметим, что можно сократить на массу тела m, для которого будем рассчитывать траекторию. Тогда уравнение 2 примет вид:



Примем  за ? – скорость тела, и распишем уравнение 3 в систему уравнений, умножив оба уравнения на dt:




Осталось задать декартову систему координат и расписать систему уравнений 4 в проекциях на оси x, y, z. Для понятия процесса рассмотрим два тела (1 – тело которое действует с силой на тело 2), учитывая что  – вектор расстояния между координатами тел, (1-2), а R -  – длинна этого вектора (рисунок 2).

Тогда, система 4 примет вид:




Согласно методу Эйлера решения дифференциальных уравнений каждый последующий элемент дифференциального уравнения будет зависеть от предыдущего и шага, тогда, к примеру, уравнения для x-вых проекций взятых из 5 примут вид:





Аналогично для других координат и .

3 Полная энергия системы

Для проверки правильности выполнения программы вполне достаточно проверить выполняется ли Закон сохранения энергии. В нашей системе он будет иметь такой вид:

Где Е – полная энергия системы, Ек – кинетическая энергия, Еп – потенциальная энергия.

Кинетическая энергия Ек рассчитается по формуле:



Потенциальная энергия Еп рассчитается по формуле:

Просчитав с помощью программы уравнения 8 и 9 легко построить с помощью программы для построения графиков их сумму 7. Во всей системе полная энергия должна быть постоянной либо колебаться с небольшими отклонениями, т.к. при использовании метода Эйлера возникает ошибка вычисления.

4 Движение центра масс системы

Для более наглядного рассмотрения траектории движения тел можно рассмотреть движение центра масс. Центр масс - геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого. Так как в нашей системе мы рассматриваем материальные точки, то скорость центра масс в данном случае будет рассчитываться по формуле:



А положение центра масс по формуле:



Таким образом, благодаря формулам 10 и 11 можно проследить смещение центра масс системы и траекторию.

5 Система тел

Для системы я взял два тела, находящиеся в положении равновесия (тела обращаются по своим орбитам). Максимально точно подобраны начальные значения скорости, массы и расстояния, но из-за ошибки метода Эйлера точно это сделать не возможно. Третье же – тело с изменяемыми массами, скоростями и положениями. Оно то и должно выводить систему из равновесия. Мною рассмотрено четыре случая. Все величины безразмерны и подобраны так, что бы изначально система максимально была бы без отклонений.

6 Результаты решения поставленной задачи

а) Система в покое. Начальные данные:

Общее время рассмотрения t=5000; Шаг интегрирования по времени dt=0.001;

Таблица 1.

Начальные координаты, скорости и массы тел. Все величины безразмерны. № тела x y vx vy m  1 -100 0 0 1,5 1.1013  2 100 0 0 -1,5 1.1013  

б) Тело, быстро движущееся через систему. Начальные данные:

Общее время рассмотрения t=5000; Шаг интегрирования по времени dt=0.001;

Таблица 2.

Начальные координаты, скорости и массы тел. Все величины безразмерны. № тела x y vx vy m  1 -100 0 0 1,5 1.1013  2 100 0 0 -1,5 1.1013  3 1000 1000 -20 -20 1.1013  

в) Тело, медленно движущееся в стороне от системы. Начальные данные:

Общее время рассмотрения t=5000; Шаг интегрирования по времени dt=0.001;

Таблица 3.

Начальные координаты, скорости и массы тел. Все величины безразмерны. № тела x y vx vy m  1 -100 0 0 1,5 1.1013  2 100 0 0 -1,5 1.1013  3 1000 1000 -20 0 1.1013  

г) Тело более легкое, движущееся в центр системы. Начальные данные:

Общее время рассмотрения t=5000; Шаг интегрирования по времени dt=0.001;

Таблица 4.

Начальные координаты, скорости и массы тел. Все величины безразмерны. № тела x y vx vy m  1 -100 0 0 1,5 1.1013  2 100 0 0 -1,5 1.1013  3 0 -500 0 1 1.1010  

На рисунке 11 наглядно видно, что закон сохранения энергии выполняется.

Проанализировав рисунки с 3 по 10 можно наглядно увидеть изменение траекторий движения как тел, так и системы в целом, под воздействие гравитационного поля третьего тела.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученные в ходе моделирования поставленной задачи результаты наглядно доказывают действия закона Всемирного тяготения. Программа позволяет рассчитать траекторию, скорость, энергию небесных тел, а при небольшой модификации и время достижения телом цели а так же его энергию и скорость в данный момент. Это весьма актуальный процесс, и думаю что в будущем его можно будет модифицировать использовав другие методы решения дифференциальный уравнений, добавлять всевозможные ситуации, вплоть до реальный расчетов. Заданный мной случай рассмотрен для материальных точек, но программа так же может использоваться и для расчета столкновений, например, астероидов о Землю, движения комет и тел солнечной системы, так же можно смоделировать модель изменения траектории объекта летящего в сторону Земли путем воздействия на него гравитационным полем близко расположенного искусственного объекта.

Список используемой литературы

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 1. Механика. 4-е изд., — Москва: ФИЗМАТЛИТ; Издательство МФТИ, 2005г. - 560с

2. Савельев И.В. Курс физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. Москва: Наука. Главная редакция физико-математической литературы 1989г. - 352с

3. Иродов И.Е. Основные законы механики. 3-е изд., переработан и дополнен – Москва: Высшая Школа 1985г. - 248с 

4. В.М.Алексеев Лекции по небесной механике. Ижевск: Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика", 1999 - 160с

5. Шеин А.Г. Курсовая работа: Методические указания. Волгоградский государственный технический университет. – Волгоград, 2009.– 9с

6. [http://www.wikipedia.org/] - интернет ресурс

Приложение А

Листинг программы

#include

#include

#include

double const G=6.67E-11;

int const NMax=100;

double X[NMax],Y[NMax],Z[NMax], XN[NMax],YN[NMax],ZN[NMax],M[NMax];

double VX[NMax],VY[NMax],VZ[NMax],VXN[NMax],VYN[NMax],VZN[NMax];

double KE,PE,dt,RCx,RCy,VCx,VCy;

int Quantity,TIME;

double sqr(double a)

{

return (a*a);

}

double cube(double a)

{

return (a*a*a);

}

void VVOD()

{

int k;

FILE*vv;

vv=fopen("Vvod.txt","r+");

float XX,YY,VXX,VYY,MM,Ddt;

fscanf(vv,"%i %f %i ",&TIME,&Ddt,&Quantity);

dt=Ddt;

k=0;

while (!feof(vv))

{

fscanf(vv,"%f %f %f %f %f ",&XX,&YY,&VXX,&VYY,&MM);

X[k]=XX;Y[k]=YY;VX[k]=VXX;VY[k]=VYY;M[k]=MM;

k=k+1;

}

fclose(vv);

}

void VIVOD(FILE*CO,FILE*SP)

{

int k;

k=0;

for (k=0; k {

fprintf(CO,"%g %g ",X[k],Y[k]);

fprintf(SP,"%g %g ",VX[k],VY[k]);

}

fprintf(CO," ");

fprintf(SP," ");

}

double DISTANCE(int j, int i)

{

return sqrt(sqr(X[j]-X[i])+sqr(Y[j]-Y[i]));

}

void AXEL(int i, double &AX, double &AY)

{

int j;

double CubeDist;

AX=0;

AY=0;

for (j=0; j if (j!=i)

{

CubeDist=cube(DISTANCE(j,i));

AX=AX+G*M[j]*(X[j]-X[i])/CubeDist;

AY=AY+G*M[j]*(Y[j]-Y[i])/CubeDist;

}

}

void KineticEnergy()

{

int k;

KE=0;

for(k=0;k}

void PotencialEnergy()

{

int k,l;

PE=0;

for(k=0;k {

for(l=Quantity;l>k;l--)

PE=PE-G*M[k]*M[l]/sqrt(sqr(X[k]-X[l])+sqr(Y[k]-Y[l]));

}

}

void Center_System(int N)

{

double tmpM,tmpRX,tmpRY,tmpVX,tmpVY;

int k;

tmpM=0;tmpRX=0;tmpRY=0;tmpVX=0;tmpVY=0;

for(k=0;k {

tmpM+=M[k];

tmpRX+=X[k]*M[k];tmpRY+=Y[k]*M[k];

tmpVX+=VX[k]*M[k];tmpVY+=VY[k]*M[k];

}

RCx=tmpRX/tmpM;RCy=tmpRY/tmpM;

VCx=tmpVX/tmpM;VCy=tmpVY/tmpM;

}

int main()

{

double AX,AY,m;

int i,Shetchik;

FILE*vivC;vivC=fopen("VivC.txt","w+");

FILE*vivS;vivS=fopen("VivS.txt","w+");

FILE*Energ;Energ=fopen("Energy.txt","w+");

FILE*Center;Center=fopen("Center.txt","w+");

m=0;Shetchik=0;

VVOD();

VIVOD(vivC,vivS);

while (m<=TIME)

{

for (i=0;i {

AXEL(i,AX,AY);

XN[i]=X[i]+VX[i]*dt;YN[i]=Y[i]+VY[i]*dt;

VXN[i]=VX[i]+AX*dt;VYN[i]=VY[i]+AY*dt;

}

for (i=0;i {

X[i]=XN[i];Y[i]=YN[i];

VX[i]=VXN[i];VY[i]=VYN[i];

}

m=m+dt;

Shetchik++;

if (Shetchik%1000==0)

{

VIVOD(vivC,vivS);

Center_System(Quantity);

KineticEnergy();

PotencialEnergy();

fprintf(Center,"%g %g %g %g ",RCx,RCy,VCx,VCy);

fprintf(Energ,"%g %g %f ",KE,PE,m);

}

}

fclose(vivC);fclose(vivS);fclose(Energ);fclose(Center);

printf("programm complite ");

printf("press [ENTER] to continue");

getchar();

}